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수열

No description
by

ISeul Park

on 1 October 2014

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Transcript of 수열

수열이란?
피보나치 수열
· 레오나르도 피보나치(1170 ~ 1250)
· 이탈리아 파사 출생 수학자
· 보니치의 아들(fiflius bonacci)이라는 뜻의 피보나치
· 저서 : 산반서, Liber abaci
등차 수열
첫째항부터 차례로 일정한 수를 더하여 만들어지는 수열
등비 수열
첫째항부터 차례로 일정한 수를 곱하여 만들어지는 수열
여러가지 수열의 합
계차 수열
1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 , … {a }
수열
Thank you!

n
어떤 규칙에 따라 차례로 나열된 수의 열을
수열
이라 하고,

나열된 각 수를 그 수열의

이라 한다.

제 1항
제 2항
제 3항
제 n항
일반항
=
a

a

a




,
,
,
,
,
와 같이 유한개의 항으로 이루어진 수열을 이라고 하고,
유한수열
와 같이 항의 개수가 무한이 많은 수열을 이라고 한다.
무한수열
1, 3, 5, 7, …, 11
3, 6, 9, 12, …
2, 6, 10, 14, …
일 때,
수열이
a₃=
10
a

8
=
30

a₁=
2
a
5
=
18
a
10
=
38
1 , 2 , 4 , 8 , …
x2
x2
x2
공비 (r)
등비수열의 일반항
첫째항이 a이고, 공비가 r인 등비수열
{a }의 일반항 a 은
n
n
a = ar
n
n - 1
a, b, c가 등비수열 ↔ b/a = c/b ↔ b² = ac(
등비중앙
)
문제 1
첫째항이 5이고, 공비가 2인 등비수열 {a }의 일반항을 구하여라.
n
∴ a = 5·2
n
n - 1
수열 5, 15, 45, … 의 등비수열 {a }의 일반항을 구하여라.
n
∴a = 5·3
n
n - 1
문제 3
각 항이 실수이고, 제 2항이 25이고, 제 4항이 625인 등비수열 {a }의 일반항을 구하여라.
n
첫째항을 a, 공비를 r이라고 하면,
a₂=ar=25
a₄=ar³=625
ar³/ar = r² = 25
∴ r = 5
a·5 = 25
∴ a = 5
∴ a = 5·5
n
n - 1
등비수열의 합
첫째항이 a이고, 공비가 r인 등비수열의 첫째항부터 제 n항까지의 합 Sn은
(ⅰ) r≠1일 때,
a(1-r )
n
1-r
r<1 : Sn =
r>1 : Sn =
a(r -1)
n
r-1
(ⅱ) r=1일 때, Sn = na
문제 2
문제 1
등비수열의 합을 구하여라.
1, 2, 4, 8, … , 32
첫째항이 1이고, 공비가 3인 등비수열의 첫째항부터 제 6항까지의 합이므로
1, 2, 2², 2³, … , 2 =
5
2-1
1(2 -1)
6
=
∴2 -1
6
문제 2
다음 등비수열의 합을 구하여라.
3, 3, 3 3, … 81 3
√­­
1,
√­­
√­­
첫째항이 1이고, 공비가 3인 첫째항부터 10항 까지의 합이므로
√­­
1, 3, ( 3)², ( 3)³, … , ( 3)
√­­
√­­
√­­
√­­
9
1{( 3) - 1}
√­­
√­­
3 - 1
10
=
1{( 3) - 1}
√­­
√­­
3 - 1
10
×

3 + 1
=
2
243 - 1
=
2
242 ( 3 + 1)
=

( 3 + 1)

∴121( 3 + 1)

1 , 3 , 5 , 7 , …
+2
+2
+2
등차수열의 일반항
첫째항이 a이고, 공차가 d인 등차수열 {a }
n
a₁ = a + 0d
a₂ = a + 2d
a₃ = a + 3d

a = a + (n - 1)d
n
a, b, c가 등차수열 ↔ b - a = c - b ↔ 2b = a + c(
등차중항
)
문제 1
다음 등차수열 {a }의 일반항을 구하여라.
(1) a₁ = 5 , d = 2
n
5 + (n - 1)2 =
∴ 2n + 3
(2) 1, 3, 5, 7, …
a = 1, d = 2
1 + (n - 1)2 =
∴ 2n - 1
문제 2
다음을 만족시키는 등차수열의 일반항 a 을 구하여라.
n
첫째항이 5이고, 제 5항이 17
a = 5
a = a + 4d = 17
5
5 + 4d = 17
4d = 12
d = 3
a = 5 + (n - 1)3
∴ 3n + 2
등차수열의 합
수열 {a }에서 첫째항부터 제 n항까지의 합 Sn은
n
Sn = a₁ + a₂ + a₃ + … + a 으로 나타낸다.
n
첫째항이 a이고, 공차가 d인 등차수열의 제 n항을 l이라 하면 Sn은
Sn = a + (a + d) + (a +2d) + … + (l - 2d) + (l - d)
2Sn = (a + l) + (a + l) + … + (a + l) + (a + l) =
n개
n(a + l)
Sn=
2
n(a + l)

l = a + (n - 1)d
Sn=
2
n{2a +(n - 1)d

문제
a₂= -3 , a = 45
9
등차수열 {a }의 첫째항부터 제 n항까지의 합 Sn을 구하여라.
n
9
a = a + 8d = 45
a₂ = a +d = -3
→ 7d = 48
d = 6
a + 6 =-3
a = -9
Sn=
2
n{2(-9)+(n-1)6}
Sn= n{(-9)+3n-3}
∴ Sn= n(3n - 12)
공차(d)
합의 기호 ∑(시그마)
∑ = S, 합의 뜻을 지닌다.
a₁+ a₂+ a₃+ … + a = ∑ 로 나타낸다.
n
n
k=1
ak
1 + 2 + 2²+ … + 2 =
6
7개
x2
x2
x2

7
k=1
2
k-1
문제 1
(1) 기호 ∑를 사용하여 나타내어라.
1 + 4+ 7+ … + 28 =
∴ ∑
10
10개
k=1
(3k-2)
(2) 기호 ∑를 사용하지 않은 합의 꼴로 나타내어라.

10
k=1
(3k+1)
항의 개수 10개
3씩 더함
∴ 4+ 7+ 10+ … + 31
시그마의 기본 성질
(ⅰ) ∑ =
(ⅱ) ∑ =
(ⅲ) ∑ = ∑ (단, c는 상수)
(ⅳ) ∑ = cn(단, c는 상수)
n
n
n
k=1
k
k
k
k=1
k=1
k=1
k=1
k=1
k=1
k=1
k=1
n
n
n
n
n
k
k
k
k
k
k
k
c
c
a
a
b
b
(a +b )
∑ + ∑
(a - b )
∑ - ∑
ca
a
n
문제 2
∑a = 50, ∑b = 60
k
k=1
10
k
(1) ∑(-3a +25)
k=1
10
k
-3a = -150
k
∴ 100
(2) ∑ (2a -3b )
k
k
k=1
10
10
k=1
2a = 100, 3b = 180
k
k
∴ -80
자연수의 거듭제곱의 합
2 , 3 , 4 , 5 , 6 , … {b }
n
n
{b }을 {a }의
계차수열
이라 한다.
n
n
문제 1
다음 수열의 계차수열을 구하여라.
(1) 2, 5, 10, 17, 26, …
3, 5, 7, 9, … 이므로
∴ 첫째항이 3이고, 공차가 2인 등차수열이다.
(2) 1, 5, 10, 16, 23, …
4, 5, 6, 7, … 이므로
∴ 첫째항이 4이고, 공차가 1인 등차수열이다.
계차수열의 일반항
a₁, a₂, a₃, a₄, … , a , a
n-1
n
b₁, b₂, b₃, … , b
n
b₁ = a₂ - a₁
b₂ = a₃ - a₂
b₃ = a₄ - a₃

b = a - a
n-1
n
n-1
→ 변끼리 더하면
b₁+ b₂+ … + b = a -a₁
n-1
n
∴ a = a₁+ (b₁+ b₂+ … + b )

= a₁+ ∑b (단, n= 2, 3, 4, …)
n
n-1
n-1
k=1
k
문제 2
수열의 일반항을 구하여라.
1, 3, 8, 16, 27, 41, …
2, 5, 8, 11, 14, … 이므로
b = 3n-1
n
a = 1+∑(3k-1)
n
k=1
n-1
= 1+3
2
(n-1)n
- (n-1)
= 1+
2
3 ²-3
n
n
- (n-1)
=
2
3
n²-
2
3
n - n+2
= ∴
2
3
n² -
2
5
n +2
문제 3
수열의 일반항을 구하여라.
1, 1, 2, 4, 7, 11, …
0, 1, 2, 3, 4, … 이므로
b = n-1
n
a =1+∑(k-1)
n
k=1
n-1
=1+1
2
(n-1)n
-(n-1)
=1+
2
n²-n
-(n-1)
=∴
2
1
n² -
2
3
n +2
(ⅰ) ∑ = 1+ 2+ 3+ … + n=
2
n(n+1)
※ ∑ ≠ ∑ ∑

k=1
n
k
k
k=1
k=1
n
n
k
(ⅱ) ∑ = 1²+ 2²+ 3²+ … + n²=
6
n(n+1)(2n+1)
(ⅲ) ∑ = 1³+ 2³+ 3³+ … + n³=

n
n
k=1
k=1
2
n(n+1)
{ }

k=1
n
문제 3
합을 구하여라.
(1) 1²+2²+3²+…+10²
6
10(10+1)(20+1)
=
(110)(21)
6
2310
6
=
∴ 385
(2) 1³+2³+3³+…+10³
2
10(10+1)
{ }
=
²
2
110
2
110
X
=
∴ 3025
피보나치 수열이란?
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
처음 두 항은
1
이고, 제 3항부터는 이전
두항의 합
으로 이루어진 수열
수열
항의 비
1 1 2 3 5 8 13 21 34 …
1 2 1.5 1.667 1.625 1.625 1.615 1.619 …
연속한 항의 비는 1.618에 한없이 가까워 진다.
황금비 : 인간이 인식하기에 가장 균형적이고 이상적으로 보이는 비율
(1:1.618)
경민 IT 고등학교
조장 : 20619 박이슬
조원 : 20601 박정준
20622 이동민
20626 장희진
20628 최혜원
20629 함유나
조화수열
수열의 각 항의 역수들이 등차수열을 이룰 때, 이를 조화수열이라 한다.
수열 1,
3 5 7
1 1 1
, , , …
1, 3, 5, 7, …
= 등차수열
역수
조화수열의 일반항
등차수열의 일반항 역수 = 조화수열의 일반항
a = a₁ +(n - 1)
n
역수
d = a₂ - a₁
a
n
1
= + (n - 1) -
a₁
1
a₂
( )
a₁
1
1
a, b, c가 등차수열 ↔
2
1
b
1
a
c
1
1
ㅡ = ㅡ ㅡ + ㅡ ↔ ㅡ =
( )
b
1
2ac

a+c
↔ b = (
조화중앙
)

2ac
a+c
문제
ㅡ, ㅡ, ㅡ ,ㅡ ,ㅡ , … ,a , …
2 6 10 14 18
1 1 1 1 1
조화수열의 일반항을 구하여라.
n
→ 2, 6, 10, 14, 18, …, ㅡ , …
a
n
1
첫째항이 2이고, 공차가 2인 등차수열
a
n
1
ㅡ = 2 + (n - 1)2 = 2
n
∴ ㅡ = 2
n
a
n
1
→ ∴ a = ㅡ
n
2
n
1
문제 4
다음 합을 구하여라.
1·3 + 2·5 + 3·4 + … + 10·11
= ∑
20

k=1
n
k(2k+1)
k=1
k(2k+1)
= 2∑ +∑

k=1
20
k=1
20
k
= 2
6
20(20+1)(2·20+1)
+
2
20(20+1)
= 2
6
20·21·41
+
2
20·21
= 2·10·7·41 +
2
420
= 5740 + 210
= ※ 5950
문제 5
다음 합을 구하여라.

(k²-2k)
k=1
n
= ∑ - 2∑
k
k
k=1
n
k=1
n
=
6
n(n+1)(2n+1)
- 2
2
n(n+1)
=
2
공통인수 빼냄
n(n+1)
{ - 2}
3
2n+1
=
2
n(n+1)
3
2n-5
( )
= ※
6
n(n+1)(2n-5)
Full transcript