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Deflexion en Vigas!

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Isabel Peñaloza

on 24 October 2012

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Transcript of Deflexion en Vigas!

DEFLEXIÓN EN VIGAS POR ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR Isabel Peñaloza
Ing. Civil Un modelo matemático nos permite describir un fenómeno o problemática de la vida real por medio de una formulación matemática, que consiste en la identificación de una razón de cambio, sus variables y constantes. La Flexión en vigas esta determinada por una ecuación diferencial lineal de 4to Orden. ALCANCE Se obtendrá por medio de ecuaciones diferenciales la deflexión de una viga dependiendo de sus condiciones de apoyo. Condiciones del Problema ... 1) Viga homogénea
2) Sección Transversal Uniforme
3) Wviga se desprecia. Curva Elástica Es la linea que une los centroides de todas las secciones transversales de la viga, de esta manera describe la forma de la viga. Se Demuestra por a teoría
de elasticidad que el Momento flector en cualquier distancia x , lo determina la siguiente ecuación: Tambien tenemos que la curvatura k, es proporcional al momento flector: E= Modulo de Young
I = Momento de Inercia "Rigidez a la Flexión" Teniendo que la curvatura k es: cuando el giro y´~ 0 encontramos que: Por lo tanto la curvatura seria: Remplazando , tenemos que : Así entonces, para encontrar y es necesario derivar dos veces la ecuacion a ambos lados y obtenemos lo siguiente: Ahora remplazamos, en la anterior ecuación satisfaciendo la siguiente igualdad: Ahora remplazamos, en la anterior ecuación satisfaciendo la siguiente igualdad: Condiciones de Frontera Retomando ... Y´´´´= Carga Distribuida
Y´´´ = Cortante
Y´´ = Momento
Y´ = Giro
Y = Deflexion Para un viga Empotrada en sus extremos Condiciones de frontera: Cuando X=0
y = 0
y´ = 0 Cuando x=L
y = 0
y´ = 0 Partiendo de la Ecuación que satisface las condiciones y la teoría de elasticidad EDL de 4 orden Resolvemos : Y( x) = Yhomogenea + Yparticular Solucion Homogenea Polinomio caracteristico y¨¨ = 0 m4 = 0

Yh= C1 + C2 e x+ xc3 ex Solución Particular Coeficientes indeterminados Yp= Wo/2EI
Yp´ = 0
Y´´= Y´´´= Y´´´´= 0 Solucion General Ygen= Yh+Yp Asi encontramos la ecuacion general para la defelxion de una viga. Con las condiciones de frontera reducimos las ecuaciones a las siguientes : [ y(x)=0 ]

[ y´ (x)=0 ] Resolvemos el sistema de ecuaciones por matrices y encontramos que las ctes son: Remplazamos las ctes en la Ecuación general para deflexion de una viga. Finalmente encontramos la defelxion en cualquier x , para una Luz L y carga Distribuida Wo. Simplificando ... Encontrar la Deflexión en L /2 Finalmente encontramos que la defelxion en L/2 es 1.63 Otros Ejemplos de Ecuaciones para deflexión según condiciones de apoyo y carga. Evaluamos en: Remplazamos Deflexión en X=10
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