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Estudo dos Polinômios

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by

Marina Maiolino

on 24 January 2014

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Transcript of Estudo dos Polinômios

O que é um polinômio?
A área do retângulo de medidas
x
e
x+5
, conforme a figura abaixo, pode ser representada por :


1) Na Geometria

É o maior expoente da variável,
tal que o coeficiente do termo correspondente seja diferente de zero.
Essa aplicação
não
serve para polinômio nulo!
Exemplos:
2.1) P(x) = 6x² - 4x + 5


2.2) D(x) = 3x³ + 2x² - 6x


2.3) Q(x) = 3
2) Grau de um Polinômio
3) Valor Numérico
4) Igualdade
Um polinômio é nulo ( identicamente nulo) quando assume valor numérico zero para todo real. Assim, um polinômio é nulo se todos os seus coeficientes são iguais a zero.
Exemplo :
Calcule
a
,
b
e
c
para que P(x) = (a-1)x³ +
(b+2)x + c - 5 seja nulo.
Resolução :
Temos que obter
a - 1 = 0 => a = 1
b + 2 = 0 => b = -2
c - 5 =0 => c = 5
5) Polinômio Nulo
Para adicionar ou subtrair dois polinômios basta somar ou subtrair os coeficientes de mesmo grau de cada polinômio dado.
Exemplo 1 :
P(x) =
4

- 3

+ 6
Q(x) =
5

-1

P(x) + Q(x) = (4+5)x³ + (-3-1)x² + (6+0)
P(x) + Q(x) = 9x³ - 4x² + 6
Exemplo 2:
T(x) =
4

- 3

+ 6
R(x) =
5

-1

T(x) - R(x) = (4-5)x³ + (-3-(-1))x² + (6-0)
T(x) - R(x) = -1x³ -2x² + 6

6) Operações com polinômios

6.2) Multiplicação
Dado dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não-nulos, dividir P(x) por D(x) significa encontrar dois polinômios Q(x) e R(x), tais que :

P(x) D(x)

R(x) Q(x)
6.3) Divisão
Estudo dos Polinômios
O estudo dos polinômios tem como objetivo desenvolver operações algébricas,aplicadas no campo da geometria com grande importância.
Veremos agora as aplicações básicas deles.
D
E
F
I
<=
N
I
Ç
Ã
O
x
x + 5
x . (x + 5) ou x² + 5x
No cubo abaixo, podemos representar a área

total como a soma das áreas de seus respectivos quadrados:
x + 1
x + 1
x + 1
x + 1
x + 1
x + 1
x + 1
x + 1
x + 1
x + 1
6 . ( x + 1)² ou 6x² + 12x + 6
Exemplos:
P(x) = 6x³ + 5x² + 2x - 1
Q(x) = 4x - 5
R(x) = 3x² + 6x
M(x) = 4
polinômio de grau 2
polinômio de grau 3
polinômio de grau 0
Para o polinômio
P(x) = 0 , não se
define grau!
2) Grau de um Polinômio - Exemplo
Obtenha o valor de
k
para que o polinômio P(x) = (k-2)x³ + 7x² + 5x + 1 seja de grau 2.
Resolução :

Observando que o coeficiente de x² é 7 e, portanto, diferente de zero, basta impor a condição de o coeficiente dos termos superiores, no caso o x³, ser nulo.
Logo,
k - 2 = 0 => k = 2

Em uma função, quando atribuímos valor à variável independente
x
, para obtermos o valor de
y
em correspondência, substituímos
x
na função.
Exemplo:
Dada a função f(x)= 4x² - 7x +5 e x = 3, temos:
y = f(x) = f(3)
y = 4 . 3² - 7 . 3 + 5
y = 20


Podemos, então,dizer que 20
é o valor numérico que a função
f
assume para x = 3.
E no caso do polinômio, o que é valor numérico?
Como todo polinômio é também uma
função, o raciocínio é o mesmo.
Logo, considerando um número real
u
, o valor numérico que o polinômio assume para
x
=
u
é o número obtido ao substituir
x
por
u
e efetuar os cálculos.
Exemplo :
Calcule o valor numérico que o polinômio
P(x) = 7x³ - 5x + 3 assume para x = 2.

Resolução:
P(2) = 7 . 2³ - 5 . 2 + 3
P(2) = 49
Valor Numérico
Observação !
Se o
valor numérico
de um polinômio para
x
=
a
é
igual a zero
, dizemos que
a
é raiz ou zero do polinômio
.
Exemplo:
Calcule o valor numérico que o polinômio P(x) = 2x² - 50 assume para x = 5.

Resolução:
P(5) = 2 . 5² - 50
P(5) = 50 -50
P(5) = 0
5 é raiz de P(x)
Dois polinômios são iguais quando seus valores numéricos são iguais. De forma mais simples, quando os coeficientes de mesmo grau são iguais.
Exemplo:
Considere P(x) =
2

- 4
x
+ 6
e Q(x) =
a
x³ + bx² +
c
x
+

d
. Para que os polinômios sejam idênticos, precisamos que tenhamos :
a = 2
b = 0
c = -4
d = 6
6.1 ) Adição e Subtração
Observação!

Se P, Q e P + Q são polinômios não-nulos, então o grau de P + Q é
menor ou igual
ao maior dos números dos graus de P e Q.
É efetuada de acordo com a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.
Exemplo :
P(x) = 2x² + 4x + 1 e Q(x) = x + 3
P(x) . Q(x) = (
2x²
+
4x
+
1
) . (x + 3)
P(x) . Q(x) =
2x²
. (x + 3) +
4x
. (x + 3)
+ 1
. (x + 3)
P(x) . Q(x) = 2x³ + 6x² + 4x² + 12x + x + 3
Juntando os termos de mesmo grau:
P(x) . Q(x) = 2x³ + 10x² +13x + 3
Observação!

Se P, Q são dois polinômios não-nulos, então o grau de P . Q é
igual à
soma
dos graus de P e Q.
P(x) = D(x) . Q(x) + R(x)
dividendo
divisor
quociente
resto
A divisão entre polinômios é efetuada utilizando-se o método das chaves.O objetivo é zerar os termos do dividendo de grau maior e igual ao do divisor, ja que o grau do resto nunca pode ser maior que o divisor.
Exemplo :

x³-7x²+4x+6 x²+2x+1
-x³-2x²-x
___________ x-9
-9x²+3x+6
9x²+18x+9
____________
21x+15

Quociente : Q(x) = x-9
Resto : R(x) = 21x+15
grau menor que o do divisor
Dispositivo Prático
Quando o divisor for um polinômio do 1º grau da forma x - a ou x + a , pode-se obter o quociente e o resto da divisão através do Dispositivo de Briot-Ruffini : este processo opera somente com coeficientes.
Exemplo:
P(x)= 3x³ - 7x² + 5x + 1
D(x) = x-2
2 3 -7 5 1

3 -1 3 7
Raiz de D(x)
repete o número
de cima
x
+
x
+
Q(x) = 3x² - 1x + 3
R(x) = 7
{
Q
{
R
7) Teorema do Resto
Quando deseja-se obter apenas o resto de um polinômio P(x)por outro de primeiro grau, do tipo
ax + b
( a não nulo) ,fazemos:
R(x) = P(-b/a) , onde x = -b/a

Exemplo :
Resto da divisão de P(x) = 4x³ - 7x² + 6x - 1 por x + 2.
Resolução:

R = P(-2)
R = 4 . (-2)³ - 7 . (-2)² + 6 . (-2) - 1
R = -73
7.1) Outros teoremas
7.1.1) Se um polinômio P(x) é divisível separadamente pelos binômios
x-a
e
x-b
com a diferente de b, então P(x) é divisível pelo produto (x-a) . (x-b). A recíproca é verdadeira. Se um polinômio P(x) divisível pelo produto (x-a) . (x-b), então P(x) é divisível separadamente por
x-a
e
x-b.
7.1.2) Um polinômio P(x) é divisível por ax + b (a diferente de zero) se, e somente se,
P(-b/a) = 0.
( Teorema de D'Alembert)
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