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Pesquisa Operacional

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by

João Santos

on 11 October 2013

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Transcript of Pesquisa Operacional

Pesquisa Operacional
Problemas de Transportes
Um modelo clássico aborda 2 fábricas A e B que deverão suprir as lojas I, II e III com o menor custo de transportes possível.

Estes problemas consistem, essencialmente, na determinação de quantas viagens entre diferentes origens e destinos deverão ser feitas para:
(1º) atender às demandas;
(2º) minimizar o custo total de transportes, levando em conta custos unitários diferentes para cada par origem-destino.

Exemplo 4A

25

15

20

10

10

(90)

(70)

(120)

(50)

(30)

(100)

Uma empresa possui 2 fábricas e seu produto destina-se a 3 lojas. As fábricas A e B têm 15 e 25 cargas do produto e as lojas I, II e III necessitam de 20, 10 e 10 cargas, respectivamente. A tabela seguinte nos informa os custos unitários do transporte entre as fábricas e as lojas:

b2

b3

b1

a3

a2

a1

Usamos letras para origens e números para destinos com a finalidade de facilitar a identificação das variáveis.
As variáveis serão as quantidades de viagens entre cada fábrica e cada loja:

Variáveis

Cada viagem da fábrica A para a loja I custa $ 100,00. Logo, um número de viagens a1 custará 100. a1
Analogamente, 30.a2 será o custo das viagens de A para 2 e assim por diante...

Função Objetivo

Qual é o objetivo de otimização do problema?
MINIMIZAR o custo total de transportes de produtos entre as fábricas A e B e as lojas I, II e III.
Qual é a fórmula?

Há 40 (15+25) cargas ofertadas e 40 (20+10+10) cargas demandadas. Assim, o total de viagens saindo de A deverá ser igual a 15, ou a1 + a2 + a3 = 15. Pense analogamente para B.
O total chegando na loja I deverá ser 20 ou a1 + b1 = 20. Análogo para II e III.

(ii) objetivos de não-otimização igual às demandas das lojas

Restrições

Assumem a forma de:
(i) limitações da oferta das fábricas;

Modelo Matemático e Solver

Solução Ótima

Assim, a solução ótima será F = 3.400,00 com os números de viagens indicados em vermelho no esquema ao lado.

Os custos unitários de cada viagem estão indicados também no esquema entre parênteses. Deseja-se o planejamento das viagens que resultarão no menor custo total.
a) Determine o modelo matemático deste problema de PL.
b) Usando o Ms Excel, resolva usando o suplemento Solver.

Uma empresa tem uma fábrica e precisa enviar às lojas I, II e III as quantidades de cargas 9, 7 e 4 respectivamente. No entanto, estas precisarão passar por dois centros de distribuição, CDA e CDB, conforme o esquema gráfico seguinte:

Exemplo 4B

Restrições:

E a função objetivo ficará:

a) Pensando de modo similar ao exemplo anterior, podemos definir as 6 variáveis do problema como:

Modelo Matemático

Após submeter o modelo matemático ao Solver, a solução ótima encontrada deverá ser F = 3.570,00
com as viagens indicadas no esquema ao lado.

Modelo Matemático

Solução Ótima

a1

(100)
(30)
(50)
(120)
(70)
(90)
Podemos fazer sistematicamente esta alteração: para cada 1kg a menos de tomates, incluirmos 1kg a mais de cenouras e recalcularmos o espaço físico. Vamos fazer isso usando o Excel:

O Problema do Sacolão
O Problema do Sacolão

Podemos agora tornar o problema ainda mais completo com a adição de uma nova restrição: o espaço físico. Sabemos que os legumes possuem tamanhos diferentes e exigem condições especiais de acomodação nas barracas. Assim, vamos agora supor que a quantidade máxima de cada um dos legumes, se forem comprados com exclusividade, sejam:
O Problema do Sacolão

Nenhum sacolão, porém, deveria comercializar um único produto apenas. Assim, vamos estabelecer quantidades mínimas para cada um dos legumes:
tomates: mínimo de 100 kg
cenouras: mínimo de 130 kg
batatas: mínimo de 90 kg
Assim, quais deveriam ser as novas quantidades?
Exemplo 1A
Considere que um comércio de hortifrutigranjeiros, mais conhecido como sacolão, comercializasse apenas três tipos de legumes, a saber, tomates, cenouras e batatas e seu gerente precisa comprar quantidades dos três legumes que resultem em 600 kg, a demanda semanal. Quais deveriam ser as quantidades a serem comercializadas caso seus custos fossem:


O Problema do Sacolão
Na prática, poderíamos ter uma maior quantidade de legumes, o que dificultaria muito a escolha de uma estratégia para obter a melhor solução sob o ponto de vista do custo. Assim, problemas como este mereceram uma atenção especial dos matemáticos e foi criado uma algoritmo para resolvê-los: o Simplex.

O Problema do Sacolão
Resposta Final:
Conteúdos
1. Modelo Matemático
O Problema do Sacolão
Apresentação 01
Prof. João Carlos Teixeira dos Santos

Pesquisa Operacional
R$ 0,50/kg
Máximo de 600kg

R$ 0,40/kg
Máximo de 700kg

R$ 0,30/kg
Máximo de 500kg

Resposta:
Diminuir tomates (mais espaçosos) e aumentar cenouras porque são menos espaçosas (cabem até 700kg) e mais baratas que as batatas (R$0,10 a menos).

O Problema do Sacolão

O que fazer para obtermos uma combinação de 600 kg de legumes que caiba no sacolão (ocupe 100% do espaço) e que tenha o menor custo possível?
Qual é a melhor estratégia para conseguir esta combinação?
# tomates: máximo de 500 kg
# cenouras: máximo de 700 kg
# batatas: máximo de 600 kg
Vamos calcular os espaços físicos ocupados pela solução anterior:
Problema do Sacolão
Considere que um comércio de hortifrutigranjeiros, mais conhecido como sacolão, comercializasse apenas três tipos de legumes, a saber, tomates, cenouras e batatas e seu gerente precisa comprar quantidades dos três legumes que resultem em 600 kg, a demanda semanal.
Passos para o Modelo Matemático
Problemas de PL envolvem a tomada de decisão sobre:
Elementos da Programação Linear

Observe como o modelo matemático não tem a pretensão de resolver o problema. Porém, serve como ponto de partida para inúmeros softwares chegarem à solução ótima, além de ser capaz de defini-lo de forma matemática, inequívoca e universal.

Reunindo todas as informações, obtemos o modelo matemático para o problema do sacolão:
Passos para o Modelo Matemático
Conteúdos
1. Modelo Matemático
Elementos da Programação Linear
Passos para Obter o Modelo

Apresentação 02
Prof. João Carlos Teixeira dos Santos

Pesquisa Operacional

Cada 1 kg de tomate custará R$ 0,30; logo, 2 kg custarão 0,30 x 2, 3 kg custarão
0,30 x 3, ..., x1 kg custarão 0,30x1. Analogamente, x2 kg de cenouras custarão 0,40x2 e x3 kg de batatas, 0,50x3. Somando-se tudo isso, vem:

Passo 2: Função Objetivo
Neste caso, a função objetivo será a minimização do custo total, isto é:

Problema do Sacolão
No entanto, cada um dos legumes tem um custo diferente:

Passos para o Modelo Matemático
Além das variáveis e da função objetivo, um problema de PL tem, pelo menos, uma exigência adicional, que é conhecida pelo nome de restrição. Esta restrição também é uma variável dependente das variáveis x1, x2, x3, ..., xn do problema e esta dependência, necessariamente, assumirá uma das seguintes formas:

Matematicamente, teremos variáveis como: x1 , x2 , x3, ... , xn
Envolvidas em problemas de otimização (minimização ou maximização) que terão
Funções objetivos da forma:
Elementos da Programação Linear
tomates: máximo de 500 kg
cenouras: máximo de 700 kg
batatas: máximo de 600 kg
Assim, 500kg de tomates ocuparão 100% do espaço, 250kg ocuparão 50% ou 250/500, 200kg ocuparão 200/500 = 0,40 = 40% e, com isso x1 kg ocuparão:
x1/500 (%) do espaço físico total.
Analogamente, x2 kg de cenouras ocuparão x2/700 e x3 kg de batatas, x3/600. Logo:
Passo 3: Restrições
Finalmente, teremos a restrição ou limitação do espaço físico. Se fossem adquiridos com exclusividade cada tipo de legume, poderíamos alocar:
Passos para o Modelo Matemático
Isso implicará nas seguintes restrições:

As quantidades mínimas a serem compradas deverão ser:

Passo 3: Restrições
Restrições são exigências ou limitações que fazem com que as variáveis não atinjam determinados valores.
As exigências poderão ser entendidas como objetivos de não-otimização. Por exemplo, precisamos de 600 kg de legumes. Logo:

Passos para o Modelo Matemático
# quantidades a serem compradas , fabricadas ou vendidas de diferentes produtos;
# número de viagens de diferentes origens a diferentes destinos;
# valores a serem investidos em diferentes aplicações;
# números de funcionários alocar em cada um dos turnos/dias das semanas;
# diagramar posicionamentos estratégicos;
# rotas a serem escolhidas para otimizar custos e tempos em viagens.
Estas quantidades ou números serão as variáveis nos problemas de PL. Os problemas de PL consistem em se determinar os melhores valores para elas com o intuito de otimizar objetivos, tais como, minimização de custos, de tempos, de número de funcionários ou maximização de retornos, lucros ou clientes.
Temos aqui a importante decisão: que quantidades variáveis deveremos comprar de cada um dos legumes?
Passo 1: Definição de Variáveis
X1 : quantidade em kg de tomates
X2 : quantidade em kg de cenouras
X3 : quantidade em kg de batatas
Modele matematicamente este problema de PL para a obtenção do maior lucro possível em 6 minutos, sabendo-se cada vestido e cada camiseta conferem lucros respectivos de R$ 14,00 e de R$ 7,00.

Exemplo 1C
Uma pequena em três setores, corte, costura e embalagem com, respectivamente, 5, 9 e 4 funcionários. Durante certo período, produzirá, com exclusividade, vestidos e camisetas. A tabela seguinte mostra os tempos em minutos que cada um dos produtos consome nos três setores:

Passos para o Modelo Matemático
O modelo matemático completo ficará:
Passo 3: Restrições
Assim, procedendo de maneira análoga para os tempos nos demais setores, poderemos chegar às seguintes restrições:


Passo 2: Função Objetivo
1 vestido dá um lucro de 14 reais, 2 vestidos darão um lucro de...
... 14 . 2 reais, 3 vestidos darão 14.3 reais e x vestidos darão um lucro de...
... 14.x ou 14x reais. Analogamente, y camisetas darão um lucro de...
... 7.y ou 7y reais. Neste caso, a função objetivo será a maximização do lucro total, isto é:
Passo 1: Definição de Variáveis
Temos aqui a importante decisão: que quantidades variáveis deveremos fabricar de cada um dos produtos?
x : quantidade de vestidos a serem fabricados em 6 minutos
y : quantidade de camisetas a serem fabricadas em 6 minutos
No entanto, cada um dos produtos confere um diferente lucro à empresa:

Conteúdos
1. Modelo Matemático
Passos para Obter o Modelo
Exemplo 1C

Apresentação 03
Prof. João Carlos Teixeira dos Santos
Pesquisa Operacional
corte: 5 funcionários x 6 minutos = 30 minutos
costura: 9 funcionários x 6 minutos = 54 minutos
embalagem: 4 funcionários x 6 minutos = 24 minutos
... precisamos de 3.2 minutos; para cortar x vestidos, precisaremos de...
Passo 3: Restrições
Restrições são exigências ou limitações que fazem com que as variáveis não atinjam determinados valores.
As limitações poderão ser entendidas como número de funcionários em cada setor, o que determinam os tempos disponíveis em cada um deles:
Passos para o Modelo Matemático
Passos para o Modelo Matemático
Para cortar um vestido, necessitamos 3.1 minutos, para cortar 2 vestidos...
3.x ou 3x minutos. Analogamente, para cortar y camisetas, necessitaremos de...

1.y ou 1y minutos. Assim, o total de tempos em minutos no setor corte não poderá ultrapassar os 30 minutos disponíveis, isto é:
Passos para o Modelo Matemático
Mais tarde, as organizações se interessaram por estas técnicas para promover a otimização dos recursos financeiros, de tempo e de utilização de matéria-prima, sejam através de métodos determinísticos ou estocásticos, aqueles em que existe a forte presença de fatores atribuídos ao acaso (aleatórios). Nas palavras de DUCKWORTH (1972):
# Atendimento com hora marcada: esteticistas, médicos e profissionais liberais em geral.
Algumas aplicações da PO ao mundo moderno:
(1) Determinação das origens e destinos de cargas (Problemas de Transportes);
(2) Programação da jornada de trabalho com turnos intercalados: atendimento de qualidade ao cliente com o menor número de funcionários possível;
(3) Determinação das localizações estratégicas de postos de atendimento público: posicionamento de guardas de trânsito, cabines telefônicas, postos de saúde e hospitais.
(4) Determinação de rotas para transportes para atender clientes diversos no menor percurso possível;
Algumas aplicações da PO à Logística:
Determinação das origens e destinos de cargas (Problemas de Transportes);
Programação da jornada de trabalho com turnos intercalados: atendimento de qualidade ao cliente com o menor número de funcionários possível;
Algumas aplicações da PO à Logística:
Sua origem histórica é o ano de 212 a.C. quando Arquimedes, usando espelhos que refletiram a luz solar, conseguiu incendiar a frota inimiga. Algumas tentativas de reproduzir a experiência de Arquimedes foram feitas nos dias de hoje, porém, sem sucesso.

Quando surgiu a Pesquisa Operacional?
Bibliografia
SANTOS & OLIVEIRA.
Programação Linear: a técnica mais importante da Pesquisa Operacional. Sorocaba: editora Página 10, 2010.
No site www.pagina10.com.br custa R$ 35,00,
encomendando comigo é R$ 25,00
# aulas expositivas e práticas no laboratório de informática;
Conteúdos, Objetivos e

Métodos
Conteúdos,
Objetivos e Métodos
1. Introdução à Programação Linear: modelo matemático
Calc, Geometria Analítica e software Graph
Determinação de rotas para transportes para atender clientes diversos no menor percurso possível;
Determinação das origens e destinos de cargas (Problemas de Transportes);
Programação da jornada de trabalho com turnos intercalados: atendimento de qualidade ao cliente com o menor número de funcionários possível;
Determinação das localizações estratégicas de postos de atendimento público: posicionamento de guardas de trânsito, cabines telefônicas, postos de saúde e hospitais.
Algumas aplicações da PO à Logística:
Determinação das localizações estratégicas de postos de atendimento público: posicionamento de guardas de trânsito, cabines telefônicas, postos de saúde e hospitais.
Determinação das origens e destinos de cargas (Problemas de Transportes);
Programação da jornada de trabalho com turnos intercalados: atendimento de qualidade ao cliente com o menor número de funcionários possível;
Algumas aplicações da PO à Logística:
Determinação das origens e destinos de cargas (Problemas de Transportes);
Algumas aplicações da PO à Logística:
As técnicas da Pesquisa Operacional começaram a ser desenvolvidas durante a 2ª Guerra Mundial, quando generais ingleses e americanos planejavam a disposição de seus exércitos de ataque e de defesa com finalidades de otimizar as conquistas com a menor baixa de homens possível, visando derrotar as forças nazistas de Adolf Hitler. Esta equipe se encarregou de desenvolver procedimentos numéricos e lógicos que resolvessem determinados problemas. Estes procedimentos, hoje em sua maioria informatizados, compõem o que chamamos de Pesquisa Operacional.

A Pesquisa Operacional (PO) promove a otimização de recursos, de matéria-prima, de tempo, de esforço em contextos onde as operações de funcionamento são pesquisadas minuciosamente para, em seguida, chegar a resultados otimizados.
Afinal, o que é Pesquisa Operacional?
Operações
Fórmula de Bhaskara
Soma e Produto
Demonstrações
Planilha do Excel
Código JavaScript

Exemplo: Equação do 2º Grau
Operações
Fórmula de Bhaskara
Soma e Produto
Demonstrações
Planilha do Excel
Código JavaScript
Exemplo: Equação do 2º Grau
Conceitos
x
Delta
Elevar ao Quadrado
Raiz Quadrada
Mais ou Menos
Conceitos
,
Operações
e
Aplicações
Cada conteúdo desta disciplina é formado por conceitos, operações e aplicações.
Prof. João Carlos Teixeira dos Santos
Matemático e Especialista na área de Tecnologia em Educação
Professor das FATECs Sorocaba, São Roque e Tatuí (SP)
Curso de Tecnologia em Logística
Carga Horária: 80 horas
Pesquisa Operacional
Conteúdos,

Objetivos

e Métodos
Específicos: desenvolver habilidades de trabalhar com grandes quantidades de informação, usando ferramentas computacionais simples para isso: as planilhas eletrônicas.

Gerais: apresentar a Pesquisa Operacional como ferramenta na modelagem e resolução de problemas logísticos complexos.

(2) Aplicando R$ 100,00 hoje será possível resgatar R$ 30,00 daqui a 1 mês e R$ 88,00 daqui a 2 meses. Qual é a taxa de juros da aplicação?
(1) Com 40 metros de tela e um muro para servir de um dos lados, qual deverá ser as dimensões de um galinheiro retangular para ocupar a maior área possível?
Aplicações
Máxima Área
Taxa de Juros
Exemplo: Equação do 2º Grau
Conteúdos,
Objetivos
e
Métodos
M
O
C
Esquema do educador Ubiratan Dambrósio para mostrar que toda disciplina acadêmica (neste caso, Pesquisa Operacional) é sustentada pelo tripé Conteúdos (C), Objetivos (O) e Métodos (M).

PESQUISA OPERACIONAL
Exemplo: Equação do 2º Grau
2. Introdução ao Algoritmo Simplex
Sistemas Lineares e Calc
3. Ferramenta Solver
Calc
4. Aplicações à Logística
Calc, problemas contextualizados de escolha de rotas, localização e distribuição
5. Outras Aplicações
# utilização de planilhas eletrônicas
# ausências, notas e comunicação via internet;
# atividades pedagógicas como trabalhos, quizzes e questionários via web;
# www.equestions.com.br
# duas avaliações e reavaliação em fev/2014
Afinal, o que é Pesquisa Operacional?
“Não existe situação em que sistemas humanos ou sistemas homem-máquina realizem trabalhos e a PO não possa ser utilizada para assegurar a eficácia dos aspectos de programação daqueles trabalhos.” (Duckworth, Eric. Guia à Pesquisa Operacional. São Paulo: editora Atlas, 1972).
# Filas únicas: agências bancárias, caixa rápido dos supermercados.
# Engenharia de Trânsito: programação das mãos de direção e dos semáforos.
# Engenharia de Produção: determinação de como e de quanto produzir, otimizando matéria-prima, tempo e esforço.
# Metalurgia: composição de ligas metálicas eficientes e de baixo custos.
# Designação de tarefas sequenciais a pessoas ou máquinas de modo a obtê-las no menor tempo possível (problemas de designação).
# Investimentos: otimização de rendimentos de aplicações financeiras.
Determinação das origens e destinos de cargas (Problemas de Transportes);
(5) Determinação das localizações e das capacidades das unidades fabris de uma empresa multinacional no mundo globalizado.
Planejamento da Jornada de Trabalho
Assim, da 0 às 4 horas, há atividades para 3 enfermeiros, das 4 às 8 horas, para 6 e assim por diante. Este gráfico é chamado histograma.
O pronto atendimento de um hospital apresenta uma demanda por enfermeiros cuja média pode ser entendida conforme o gráfico seguinte que leva em conta os horários ao longo dos dias:
Exemplo 4C
Assim, da 0 às 4 horas, haverá 6 enfermeiros fazendo o trabalho que 3 fariam; portanto, com uma ociosidade média de 3 em 6. Das 4 às 8, não haverá ociosidade, etc.
Se utilizar três turnos tradicionais, da 0 às 8 horas, das 8 às 16 e das 16 às 24 horas, necessitará de, no mínimo, 6 + 12 + 10 = 28 enfermeiros para bem atender os pacientes com qualidade trabalhando em horários conforme o gráfico:
Desta forma, haverá uma ociosidade teórica que poderá assim ser calculada:
Desta forma, um nº x1 de enfermeiros trabalharão da 0 às 8 horas e se encontrarão com outro turno intercalado x2 de enfermeiros que trabalharão das 4 às 12 horas e também com um nº x6 que trabalharão das 20 às 4 horas do dia seguinte:
turnos intercalados.
Definem-se assim outras 3 variáveis conforme o gráfico acima.
Alternativamente, poderá haver redução desta ociosidade, reduzindo o número de enfermeiros sem comprometer a qualidade no atendimento: bastará dobrar o número de turnos, fazendo com que os mesmos se intercalem:
Função Objetivo: Minimizar o nº total de enfermeiros.
Como a escolha dos turnos poderia ser feita de variáveis maneiras, esta situação caracteriza um problema de otimização, o que se adequa a um problema de Programação Linear:
min F = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
Restrições: Para o horário 0-4h, precisamos de,
no mínimo 3 enfermeiros:
x1 + x6 >= 3
Analogamente para as demais restrições, podemos obter o modelo matemático:
Através do Solver, obtemos:
Otimizando, teremos:
x1 = 2 x2 = 5 x3 = 7
x4 = 0 x5 = 9 x6 = 1
min F = 24
Portanto, haverá uma redução de 4 enfermeiros considerando-se os turnos tradicionais.
A nova ociosidade será:
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