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Transformada de Laplace

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Angélica Mercado

on 5 March 2013

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Transcript of Transformada de Laplace

TRANSFORMADA DE LAPLACE ANGÉLICA MARGARITA
MERCADO MERCADO ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES GRACIAS... PARA TENER EN CUENTA HASTA AQUI ESTE REPASO COMPAÑEROS
Función pulso
Función escalón Transfomada de Laplace para una funciòn senoidal
Función exponencial Para tener en cuenta EXISTENCIA DE LA TRASFORMADA DE LAPLACE Repaso Sistemas Dinàmicos... La transformada de Laplace de una función f(t) existe si la integral de Laplace converge. La integral convergirá si f(t) es secionalmente continua en cada intervalo finito en el rango t>0 y si es de un orden exponencial conforme t tiende a infinito. Se dice que una función f(t) es de orden exponencial si existe una constante r real positiva tal que la función Si una funciòn f(t) tiene transformada de Laplace entonces la transformada de Laplace de una funcion Af(t) en donde A es una constante, se obtiene mediante Considere la función exponencial: La transformada de Laplace de la función senoidal: Considere la función pulso: La transformada de Laplace de cualquier función f(t) se encuentra si se multiplica por el exponencial de la funciòn de Laplace y se integra el producto de t=0 y de t igual infinito. Espero que les sirva... Hola compañeros, los invito a repasar (Porque todos ya lo sabemos) uno de los temas más importantes en Ingeniería
"LA TRANSFORMADA DE LAPLACE".... Pero, qué es la Transformada de Laplace? Para qué sirve?
Quién la formuló?
Por qué es importante? ...QUÉ ES LA TRANSFORMADA DE LAPLACE? La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable.
La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. PERO... QUIÉN ES LAPLACE? CÁPSULA DE TIEMPO Pierre-Simon Laplace Pierre-Simon Laplace


marzo 23, 1749 hasta marzo 5, 1827) fue un Francés matemático y astrónomo cuya labor fue fundamental para el desarrollo de la matemática astronomía y estadísticas . Resumió y amplió el trabajo de sus predecesores en sus cinco volúmenes de Mécanique Céleste ( Mecánica Celeste ) (1799-1825). Esta obra traducida el estudio geométrico de la mecánica clásica a una basada en el cálculo , la apertura de una gama más amplia de problemas. Laplace formuló la ecuación de Laplace , y fue pionero en la transformada de Laplace , que aparece en muchas ramas de la física matemática , un campo que él tuvo un papel relevante en la formación. El operador diferencial laplaciano , ampliamente utilizado en las matemáticas, también se nombra después de él. DEFINICIÓN: Para definir la transformada de Laplace, primero definiremos lo siguiente:
f(t) = una funció del tiempo tal que f(t)= 0 para t<0.
s= una variable compleja
L= un símbolo operativo que indica que la cantidad a la que antecede se va a transformar mediante la integral de Laplace, asi pues la transfrmada de Laplace de una funciòn f(t): Es un repaso para todos, incluso para los que no que no iban a las clases de Sistemas Dinámicos... PARA QUÉ SIRVE? El método de la transformada de Laplace es método operativo que aporta muchas ventajas cuando se usa para resolver ecuaciones diferenciales lineales. VEAMOS... MÉTODO DE LA TRASNFORMADA DE LAPLACE Mediante el uso de la transformada de Laplace es posible convertir muchas funciones comunes por ejemplo mediante el uso de la transformada de Laplace es posible convertir muchas funciones comunes, tales como las funciones senoidales, las funciones senoidales amortiguadas y las funciones exponenciales, en funciones algebraicas de una variable compleja s. Las operaciones como la diferenciación y la integración se sustituyen mediante operaciones algebraicas en el plano complejo, he aqui la gran importancia del cálculo de variable compleja. Por tanto, en una ecuación algebraica, una ecuación diferencial lineal se transforma en una variable compleja s lo que permite que los calculos sean más fáciles y por ende más rápidos. Y más ventajas... Una ventaja del método de la transformada de Laplace es que permite el uso de técnicas gráficas para predecir el desempeño del sistema, sin tener que resolver las ecuaciones diferenciales del sistema.
Otra ventaja del método de la transformada de Laplace es que cuando se resuelve la ecuación diferencial, es posible obtener simultáneamente tanto el componente transitorio como el componente de estado estable de la solución. AYUDA WEB
tiende a cero conforme t tiende a infinito Lo anterior es obvio a partir de la definición de la transformada de Laplace. Asimismo, si las funciones f1(t) y f2(t) tienen transformadas de Laplace,la transformada de Laplace de la funciòn f1(t)+f2(t) se obtiene mediante:
A continuación, derivaremos las transformadas de Laplace de algunas funciones que se encuentran con frecuencia....
En donde A y a son constantes. La transformada de Laplace de esta función exponencial se obtiene del modo siguiente: Se aprecia que la función exponencial produce un polo en el plano complejo.

Al obtener la transformada de Laplace de f(t), fue necesario que la parte real de s
fuera mayor que -a (la abscisa de convergencia). Para revisar si es o no correcta esta AYUDA WEB Trasfomada de Laplace de la funciòn exponencial Considere la funciòn:
en donde A es una constante. Observe que éste es un caso especial de la función exponencial en donde a = 0. La función escalón no está definida en = 0. Su transformada de Laplace se obtiene mediante Al efectuar el calculo de esta trasnfomada de Laplace, se supone que la parte real de s es mayor que cero, por lo que el lìmite cuando s tiende a infinito de la parte exponencial de la integral, es cero, de tal modo es válida en todo el plano s excepto en el polo s=0 TRANSFOMADA DE LAPLACE DE LA FUNCIÒN ESCALÒN AYUDA WEB Caso especial de la funciòn escalòn. Escalòn Unitario
La función escalón cuya altura es la unidad se denomina función escalón unitario. La función escalón unitario que ocurre en t=to, se escribe con frecuencia como 1(t-to). La
función escalón de altura A que ocurre en t= 0 puede escribirse entonces como F(t)=Al(t). La transformada de de la función escalón unitario, que se define mediante y es: AYUDA WEB TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA FUNCIÒN ESCALÒN UNITARIO. Considere la función rampa: FUNCIÒN RAMPA Donde A es una constante. La transformada de Laplace de esta función rampa se obtiene
de la siguiente manera: En donde A y son constantes, se obtiene del modo siguiente. Remitiéndonos a la siguiente ecuación sen(wt) se puede escribir como: por tanto: Asi pues la transfomada de Laplace para la funciòn senoidal serà: AYUDA WEB Transfomada de Laplace para una funciòn senoidal
Donde A y to son constantes.
Esta función pulso puede considerarse una función escalón de altura Alto que empieza en t=0 y que está sobreimpuesta mediante una función escalón negativo de altura Alto que
empieza en t=to esto es Asi la transfomada de Laplace serà: AYUDA WEB Función pulso TABLA DE TRASNFORMADAS Sin embargo una vez que conocemos el método para obtener la transformada de Laplace, no es necesario obtener cada vez la transformada de Laplace, pues se puede hacer uso de una gran herramienta: Las tablas de transformadas. Y ademas algo muy imporatante que permte la trasnfomada de Laplace es llevar un sistema del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia y esto representa una gran ventaja, en cuanto al afacilidad y el tiempo recuperado. TABLA 1 TABLA 2 TABLA 3 TABLA 3 AYUDA WEB ATT ANGÈLICA MARGARITA BIBLIOGRAFÌA La informaciòn aqui exhibida ha sido tomada de:
Ingeniería de control moderna 4 Ediciòn, Katsuhiko Ogata Ademàs se reforzò toda la teorìa con video tomados del portal YOUTUBE, bajo el nombre de TRANSFORMADA DE LAPLACE.
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