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Geometría Analitica

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Paulina Salazar :P

on 15 September 2014

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Transcript of Geometría Analitica

1. Coordenadas rectangulares y polares, definiciones fundamentales y teoremas.
1.2 VALOR ABSOLUTO
Es usado cuando no se requiere utilizar signo negativo.
El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales. "I".

|−5| = 5

|5| = 5

Geometría analítica
2.8.3 De dos puntos (forma cartesiana)
Geometría Analítica
1.1 Introducción.
Geometría analítica es la rama de las matemáticas que usa el algebra para describir y analizar figuras geométricas, que nos permite resolver algebraicamente (o analiticamente) problemas geométricos.
Se considera a René Descartés, padre de la geometría.
1.4 Coordenadas rectangulares
Es la localización de un punto en los ejes cartesianos (X,Y).
Ejemplo:
A (3,3)
1.4 Coordenadas Polares.
Otra forma de representar puntos en un plano es empleando las
coordenadas polares,
en este sistema se necesitan de un ángulo (
O
) y una distancia (
r
).

Para medir
O
, en radianes, necesitamos una semirrecta dirigida llamada
eje polar
, y para medir
r
, un punto fijo llamado
polo.
Si queremos localizar un punto
(r,O)
en este sistema de coordenadas primero tenemos que obtener el valor de
r.
Después obtener el valor de
O
con la siguiente formula.
Ejemplo
1.7 Área de polígonos
El área de una figura plana es la medida de la superficie que encierra. Para medir el área utilizamos unidades cuadradas.
El área expresa, el número de cuadrados de unidad que ocupa la figura.
Para calcular el área de un polígono, no es necesario contar uno por uno esos cuadrados.
Para eso se emplean formulas.

Formulas
Triángulo A= (b)(h)/2
Rectángulo A= (b)(h)
Romboide A= (b)(h)
Trapezoide A= Suma del área de sus dos triángulos.
Cuadrado A= (a)(a)
Rombo A= (D)(d)/2
Trapecio A= (B+b/2)(a)
Polígono regular A= (1/2 P)(a)
2. La Recta
2.5 Ángulo entre dos rectas
Se llama ángulo entre dos rectas al menos de los ángulos que forman éstas.
Se puede obtener el valor de éste a partir de:

Sus vectores directores:

"6" está a 6 de cero, y "-6" también está a 6 de cero. Así que el valor absoluto de 6 es 6, y el valor absoluto de -6 también es 6.
•El valor absoluto de -9 es 9
•El valor absoluto de 3 es 3
•El valor absoluto de -156 es 156

Rectas paralelas al eje
OY:
Ejemplos
1.
Calcular el ángulo que forman las rectas
r
y
s,
sabiendo que sus vectores directores son
->

U= (-2, 1)
y
->

V= (2, -3).
1.5 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: HORIZONTAL, VERTICAL Y OBLICUA
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.

Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.

H O R I Z O N T A L
Siempre la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta:
Para obtener la distancia que existe entre dos puntos se usa la formula:
d=x2-x1

a= 29ª 44'
Ejemplo
Ejemplo:
A(-4,5) B(6,5)
d=x2-x1

d= 6-(-4)
d=6+4
d=10
V E R T I C A L
Para obtener la distancia entre dos puntos de forma vertical se utiliza la formula:
d= y2-y1
Ejemplo:
A(2,4) B(2,-3)
d= y2-y1
d=-3-4
d=-7
d= 7







Nota: en la ecuación el resultado es negativo,
pero se cambia a positivo porque es una distancia y no hay distancias reales negativas, y si se cuenta de 4 a -3 tendremos una distancia de 7.

2.
Dadas las rectas
r= 3x +y -1 =0
y
s= 2x +my -8=0,
determinar
m
para que forme un ángulo de 45ª
O B L I C U A
Para obtener la distancia entre dos puntos de forma oblicua (inclinada) se utiliza la formula:
d= √(x2-x1)2+(y2-y1)2
Ejemplo:

A(5,4) B(-3,-2)
d= √(x2-x1)2+(y2-y1)2
d=√(-3-5)2 + (-2-4)2 <-----(son al cuadrado)
d= √(-8)2 + (-6)2
d= √64+36
d= √100
d=10

1.8 DEFINICIÓN DE FUNCIÓN, SU CLASIFICACIÓN Y EJEMPLOS
Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes.


¿Qué es?
C L A S I F I C A C I Ó N
Funciones Algebraicas
, Son funciones que satisfacen una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios o monomios.
Las funciones polinómicas
su expresión es un polinomio;
Funciones Radicales:
El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
Función a trozos: D
efinidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren
.
Funciones Trascendentes:
No satisfacen una ecuación polinomial.
Funciones Trigonométricas:
seno, coseno, tangente, cosecante, secante, cotangente.
La función logarítmica
en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
Función Exponencial:
2.2 Definición de Inclinación y pendiente de una recta.
Inclinación.
Se denomina ángulo de inclinación de una recta al ángulo que determina dicha recta con el sentido positivo del eje
x,
siendo medido este ángulo en sentido contrario a las manillas del reloj, desde el eje positivo de las
x
hasta la recta.

El ángulo de inclinación de una recta siempre esta comprendido entre
0
y
180ª,
además indica su posición en un plano.
E J E M P L O S
2.3 DETERMINAR LA PENDIENTE DE UNA RECTA CONOCIDOS DOS PUNTOS DE ELLA
2.6 DETERMINAR LA GRÁFICA DE UNA RECTA CONOCIDO UN PUNTO Y SU PENDIENTE
El concepto de inclinación de una recta es fácil de comprender; tiene no obstante, el inconveniente de que su utilización geométrica analítica es difícil, razón por lo cual se prefiere emplear la pendiente del ángulo de inclinación. Es costumbre designar la pendiente de una recta por la letra minúscula
m
.
Entonces la formula para obtener el ángulo de inclinación sería:
2.8.1 ECUACIÓN DE LAS RECTAS EN FORMA PUNTO-PENDIENTE
Pendiente.
La pendiente es a inclinación de un elemento ideal, natural o constructivo respecto a la horizontal.

La pendiente de la recta "aumenta conforme va". Ése es el cambio vertical entre dos puntos (la diferencia entre las coordenadas
y
) dividida entre el cambio horizontal sobre el mismo segmento (la diferencia entre las coordenadas
x
)
Esto puede escribirse como:
Esta ecuación es la fórmula de la pendiente
Ejercicios de pendiente e inclinación
Obtener la inclinación de la recta que pasa por los puntos
P
(-1, 5) y
M
(7, -3).
2.8.4 SIMÉTRICA O REDUCIDA
La forma punto-pendiente se aplica a las ecuaciones lineales, para la cual se conoce la pendiente de la recta y un punto específico (x1, y1) en la línea. El ecuación establece que y - y1 = m (x - x1), donde "m" es la pendiente y "x" e "y" son dos puntos cualquiera en la línea. Las ecuaciones de la forma punto-pendiente se pueden reorganizar en la forma pendiente-intersección (y = mx + b, donde "b" es la ordenada al origen) para facilitar su representación gráfica.
180ª - 45ª = 135ª
2.8 Ecuaciones de rectas oblicuas
1.3 distancia dirigida
Recta oblicua:
es toda recta que corta a una recta formando un ángulo que no es recto.
Que no es perpendicular, ni paralela a un plano, a una recta, o a una dirección determinada.
Su ecuación general es:
una distancia dirigida es una distancia que puede ser positiva o negativa. por la convención, la distancia se toma generalmente para ser una cantidad positiva. En geometría analítica, una distancia dirigida puede ser utilizada para medir la distancia de un punto del origen.
E J E M P L O S
"
m
" es la pendiente, "
b
" es la ordenada al origen (el punto que corta la recta con el eje Y).
Cuando las rectas oblicuas se representan en un plano se utiliza la siguiente fórmula.
2.10 Rectas paralelas y paralelismo.
Se denominan rectas paralelas a las líneas que mantienen una equidistancia entre sí, y que, aunque prolonguemos su trayectoria hasta el infinito, nunca, en ningún punto sus trazos pueden bifurcarse, tocarse, encontrarse. Es decir, entre ambas líneas (aunque pueden ser planos lineales de mayor dimensión) se establece una relación de paralelismo.
La relación de paralelismo puede establecerse no sólo entre líneas rectas si no también entre planos como podrían ser dos rectángulos. Si prolongáramos el dibujo de ambos, infinitamente, nunca se cruzarán sus trayectorias. Dentro de la geometría, estas rectas o planos paralelos mantienen una distancia X entre sí y la mantienen de manera infinita, como decíamos, sin posibilidad alguna de bifurcación.
1.6 División de un segmento por razón dada
Cuando una figura se encuentra en un plano, el área de esta se puede obtener mediante la división de segmentos, ejemplo:

A
(-10,8)
B
(-2,6)
C
(4,-2)
La ecuación canónica o segmentaria de la recta es la expresión de la recta en función de los segmentos que ésta determina sobre los ejes de coordenadas.







a es la abscisa en el origen de la recta.
b es la ordenada en el origen de la recta.

Los valores de a y de b se se pueden obtener de la ecuación general. Si y = 0 resulta x = a.
Si x = 0 resulta y = b.

Una recta carece de la forma canónica en los siguientes casos: 1.-Recta paralela a OX, que tiene de ecuación y = n 2.-Recta paralela a OY, que tiene de ecuación x = k 3.-Recta que pasa por el origen, que tiene de ecuación y = mx
Una recta pasa por los dos puntos A(-3,-1) y B(2,-6). Hallar la ecuación en la forma simétrica.

Teorema: La recta que pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2(x2,y2) tiene por ecuación:


Teorema: La recta cuyas intercepciones con los ejes X y Y son a y b respectivamente, a y b diferentes de 0, tiene por ecuación:




O bien, por determinantes, que es una manera mas sencilla.
Si la pendiente es =, la línea es totalmente horizontal y paralela al eje de las abscisas. si la linea es vertical y paralela al eje "y", su pendiente es infinita.
identificar los puntos de las coordenadas (2,8) y (4,3).
restar 8-3=5 y 2-4=-2
dividir la diferencia de las coordenadas"y" entre la diferencia de las coordenadas "x" . Esa es la pendiente de la linea. -2\5= -4
Utilizando el ejemplo anterior obtendríamos.
Es el resultado de la comparación de dos cantidades de la misma especie y se le llama razón o relación de dichas cantidades y estas pueden ser por cociente o geométricas.

Se determina que el punto
"P"
en la recta contiene al segmento
"AB"
de modo que las partes
(PA y PB)
estén en relación con
"r".
2.8.2 Pendiente y ordenada en el origen
Un tipo de ecuación lineal es la forma punto-pendiente, la cual nos proporciona la pendiente de una recta y las coordenadas de un punto en ella. La forma punto-pendiente de una ecuación lineal se escribe como. En ésta ecuación, m es la pendiente y (x1, y1) son las coordenadas del punto.
La pendiente de la recta "aumenta conforme va". Ése es el cambio vertical entre dos puntos (la diferencia entre
las coordenadas en y) dividida entre el cambio horizontal sobre el mismo segmento (la diferencia entre las corneadas en x). Esto puede escribirse como . Ésta ecuación es la fórmula de la pendiente.

Ahora digamos que uno de esos puntos es un punto genérico
(x, y)
, lo cual significa que puede ser cualquier punto en la recta, y el otro punto es un punto específico, . Si sustituimos éstas coordenadas en la fórmula, obtenemos . Ahora podemos manipular un poco la ecuación al multiplicar ambos lados de la fórmula por que se simplifica a .
Es el punto-pendiente de la fórmula. Hemos convertido la fórmula de la pendiente en la fórmula punto-pendiente.
2.1 definición de lugar geométrico
2.9 Regla general de la recta
Partiendo de la ecuación continua la recta:



Y quitando denominadores se obtiene:



Trasponiendo términos:



Haciendo:



Se obtiene:

2.4 paralelismo y perpendicularidad en función de pendiente
2.7 Ecuaciones de rectas paralelas a los ejes coordenados
Equipo
Herrera Badillo Estephania.
Licona Islas Jacqueline Yolanda.
Rosales Salazar Paulina.
De la recta sabemos lo siguiente:

•Al hablar de la pendiente de una recta nos referimos a su inclinación.
•Una manera de medir la pendiente de una recta en el sistema de coordenadas cartesianas, si conocemos dos puntos de la recta, es encontrando la razón de la diferencia de las ordenadas a la diferencia de abscisas de esos puntos .
•Cuando hablamos de la ordenada al origen de una recta nos referimos a su intersección con el eje "y".
Entonces, para graficar una recta conociendo su pendiente y su ordenada al origen realizamos lo siguiente:







•Si conocemos la ordenada al origen "b" de una recta, conocemos el punto de intersección de la recta con el eje ,(0,b) , y ubicamos este punto en la gráfica.
•A partir de ese punto aplicamos el concepto de pendiente, , es decir, nos desplazamos en la dirección del eje "x" , una cantidad igual a x2-x1 .
•Nos desplazamos en la dirección del eje "y" una cantidad igual a y2-y1
•Localizamos ahí el segundo punto (el primero es(0,b) ).
•Por esos dos puntos trazamos la recta.
es un conjunto de puntos
que cumplen todos con una misma condición o propiedad. Este puede ser un punto, una linea curva, una recta un plano, una superficie curva, etc.

rectas paralelas
:Dos rectas paralelas tienen el mismo ángulo de inclinación, esto implica que sus tangentes son iguales, es decir, las pendientes coinciden.
Condición de paralelismo
Dos rectas L1 y L2 son paralelas si y solo si , sus pendientes son iguales
m1 = m2

Rectas perpendiculares
Dos rectas perpendiculares tienen ángulos de inclinación que difieren en 90 grados , esto implica que sus tangentes son reciprocas y difieren en signo, es decir, el producto de sus pendientes es -1
Condiciones de perpendicularidad
Dos rectas L1 y L2 son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes s -1
m1m2 = -1
la ecuación de una recta está dada por:

y = a + bx

En donde a es una constante y b es la pendiente de la recta,

a) Cualquier recta paralela al eje de las x supone una pendiente 0, por tanto la ecuación es la siguiente:

y = a

b) Cualquier recta paralela al eje de las y supone una pendiente infinita, por lo que la ecuación termina escribiéndose de la siguiente forma:

x = a
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