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Crecimiento exponencial

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by

Melissa Garcia

on 27 May 2014

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Transcript of Crecimiento exponencial

Ecuaciones diferenciales
Se le llama crecimiento exponencial a aquella progresión que aumenta por multiplicación de una cantidad constante llamada razón.

El término crecimiento exponencial se aplica generalmente a una magnitud M que crece con el tiempo de acuerdo con la ecuación:

¿Para qué sirve?
La función exponencial sirve para describir cualquier proceso que evolucione de modo que el aumento
(o disminución) en un pequeño intervalo de tiempo sea proporcional a lo que había al comienzo del mismo.

Ejemplo2:
El crecimiento es exponencial cuando el crecimiento de la función en un punto es proporcional al valor de la función en ese punto, lo que se puede expresar en mediante la ecuación diferencial de primer orden:
Se administra 50 miligramos de cierto medicamento a un paciente. La cantidad de miligramos restantes en el torrente sanguíneo del paciente disminuye a la tercera parte cada 5 horas.
Ejemplo 3
En una investigación científica, una población
de moscas crece exponencialmente. Si después de
2 días hay 100 moscas y después de 4 días hay 300
moscas.
¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de moscas?

Como hablamos de un crecimiento exponencial estamos buscando una función de la forma:

f x = y 0 × a x b

Donde x representa el número de días transcurridos. Las condiciones del problema nos permite crear la siguiente tabla:
x 2 4
f(x) 100 300

Los valores de la tabla indican que la población de moscas se triplicó en un periodo de 2 días , lo que nos permite escribir la fórmula así:

f x = y × 3
Sabemos que f(2)=100. Reemplazando en la fórmula para hallar y 0:
f (2) = y × 3
100 = y × 3 y = 1003

Finalmente la fórmula para el crecimiento de las moscas es:
f x = 100(3) × 3

Ejemplo 1:

Una población de aves, cuenta inicialmente con 50 individuos y se triplica cada 2 años.

¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de aves?

Si
x
representa el número de años transcurridos, según lo aprendido en la lección de Introducción a Funciones Exponenciales, sabemos que la fórmula para la población es:

f x = 50 × 3
¿Cuántas aves hay después de 4 años?
f (4) = 50 × 3
= 50 × 3
= 450
Usando la fórmula para
x = 4
, la población será:
f (4) = 50 × 3
50 × = 450

Después de 4 años habrá 450 aves.
¿Después de cuánto tiempo la población de aves será de 1000 individuos?

Queremos encontrar el valor de x para el cual
f(x) = 1000
:

f x = 50 × 3
1000 = 50 × 3
La población de aves será de 1000 individuos después de 5.4 años.
20 = 3
ln (20 ) = ln ( 3 )
ln (20 ) = ln (3 )
2 ln (20 )
ln (3 ) = x
x = 5.4




Crecimiento
exponencial

Mt=Mo x e^rt


Donde:

Mt

es valor de la magnitud
en el instante t > 0;
M0
es el valor inicial de la variable,
valor en t = 0, cuando empezamos a medirla;
r
es la llamada tasa de crecimiento
instantánea, tasa media de crecimiento
durante el lapso transcurrido entre

t = 0 y t > 0
;

e = 2,718281828459
...

La expresión crecimiento exponencial se aplica a una magnitud
M
tal que su variación en el tiempo es proporcional a su valor, lo que implica que crece muy rápidamente en el tiempo de acuerdo con la ecuación:
Donde:
Mt
es valor de la magnitud en el instante
t > 0
;
M0

es el valor inicial de la variable, valor en

t = 0
, cuando empezamos a medirla;
r
es la llamada tasa de crecimiento instantánea,
tasa media de crecimiento durante el lapso transcurrido entre

t = 0 y t > 0
;
e =2,718281828459
...
La expresión se refiere al crecimiento de
una función exponencial de la forma con . Se puede ilustrar el crecimiento exponencial tomando en la última ecuación a = 2 y x un valor entero. Por ejemplo, si x = 4, entonces y = 2x2x2x2 = 16. Si x = 10 entonces y = 1.024.
Y así sucesivamente.
Donde es el valor inicial de la magnitud cuyo crecimiento exponencial se está estudiando (es decir, el valor de la magnitud para t = 0). La solución esta ecuación para cualquier instante de tiempo posterior es simplemente:
Para t > 0 puede verse que
(siempre y cuando el crecimiento sea
positivo r > 0).
Modelado de Situaciones
En la lección de Introducción a Funciones Exponenciales, aprendimos a obtener la fórmula de funciones exponenciales de acuerdo a situaciones planteadas. Ahora que sabemos cómo obtener las fórmulas vamos a utilizarlas para resolver problemas de la vida real.
Interés Continuo
Las funciones exponenciales se utilizan
para modelar el interés continuo, de la siguiente forma:

Si una cantidad de dinero inicial P se invierte a una tasa de interés anual i. La cantidad de dinero después de t años de inversión sujeto a un interés continuo está dada por la siguiente fórmula:

f (t) = P × (e )

Ejemplo 1:
Encontrar la cantidad de dinero que se obtienen después de 3 años si se invierte $3000 dólares a una tasa de interés del 7% anual, sujeto a interés continuo.

Solución:

Usando la fórmula con P=$3000, r=0.07 y resolviendo para t = 3, tenemos:

f (3) = 3000 ×(e ) ×0.07
f (3) ≈ 3701.03

Después de 3 años la cantidad de dinero será aproximadamente $3701.03.

¿Cuál es la fórmula de la función que representa la cantidad del
medicamento restante en el torrente sanguíneo del paciente ?
Si x representa el número de horas transcurridas, la fórmula para la cantidad de medicamento en el torrente
sanguíneo del paciente es:

f x = 50 × 13
¿Cuántos miligramos del medicamento quedan en el torrente sanguíneo del paciente después de 3 horas?

Usando la fórmula para
x = 3
:

f (3) = 50 × (1/3)
= 50 × (1/3)
≈ 25.86

Después de 3 horas quedan aproximadamente 25.86 miligramos del medicamento en el torrente sanguíneo del paciente.
¿Después de cuanto tiempo quedará solo 1 miligramo del medicamento del torrente sanguíneo del paciente?

Queremos encontrar el valor de x para el cual
f(x) = 1
:

f x = 50 × (1/3)
1 = 50 × (1/3)
150 = (1/3)
ln (1/150) = ln( (1/3) )
ln (1/ 150 ) = ln ( 1/3 )
5 ln ( 150 ) / ln ( 1/3 ) = x
x ≈ 17.8


Crecimiento exponencial. La función exponencial.
Consideraciones preliminares. Muchos organismos simples se reproducen por división celular. Se puede pensar en una célula que cada día se replica, tal que al día siguiente hay dos células y así sucesivamente.
t
f(t)
0 1 2 3 4 5 6
50 100 200 400 8000 1600 3200
Si se denota por f(t) el número
de células que existen en el día t , la
tabla parece sugerir una expresión
general para f(t), teniendo en cuenta que:
Utilizando razonamientos intuitivos, se tiene que una expresión para el crecimiento poblacional de
estas células que viene dada
por

donde t es una variable que se mide en días.
x/2
x/2
2
4/2
3/2
x/2
x/2
x/2
x/2
x/2
x/5
x/5
0.6
1/5
x/5
x/5
x/5
x/5
Después de aproximadamente 17.8 horas, solo quedará 1 miligramo del medicamento en la sangre del paciente.

Encontrar la Función a Partir de Valores Dados

0
x/2
2/2
1
0
0
0
x/2
rt
3
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