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Probabilidad

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by

Victor Haro

on 22 September 2014

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Transcript of Probabilidad

Unión
La unión de dos conjuntos A y B, denotada por AUB, es el conjunto con aquellos elementos que estén en A o estén en B. Es decir, AUB contiene todos los elementos de A y todos los elementos de B.

Intersección
La intersección de dos conjuntos A y B, denotada por A∩B, es el conjunto con aquellos elementos que están en A y en B.
Contención
Decimos que A es un subconjunto de B, o que A está contenido en B, si todos los elementos de A también son elementos de B.



Complemento
El complemento de un conjunto A, denotado por Aʿ, es el conjunto que contiene todos los elementos que no están incluidos en A.
Al igual que las v.a. discretas, las v.a. continuas son funciones que transforman los resultados de un fenómeno aleatorio en números reales.


La diferencia es que, ahora, el rango de la variable (R) es un conjunto continuo. Esto significa que la v.a. puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo.
Diplomado en metodología de la investigación social
Introducción
Teoría de conjuntos
Propiedades de la probabilidad
Probabilidad condicional
Teoría de la Probabilidad
Victor Hugo Haro
Variables aleatorias discretas
Variables aleatorias continuas
Fenómeno aleatorio
Es aquel en el que, bajo el mismo conjunto de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes.

No se puede predecir el resultado de cada experimento
Experimento
Proceso mediante el cual se obtiene una observación o un dato.
Probabilidad
Rama de las matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios.

Mide la frecuencia con la que ocurre un resultado en un experimento aleatorio.
Un poco de historia
y su inquietud sobre los juegos de azar, inspiran a Blaise Pascal y Pierre Fermat.
1654
Antoine Gombaud (Chevalier de Méré)
1657
Christian Huygens, basado en la correspondencia entre Fermat y Pascal, publica "De Ratiociniis in Ludo Aleae". El primer libro de probabilidad.

1663
Se publica "Liber de Ludo Aleae" supuestamente escrito por Giorlomo Cardano en 1520
Siglo XVIII
La teoría de la probabilidad tiene un notable desarrollo, especialmente gracias a la popularidad de los juegos de azar.


Algunos científicos reconocidos en el área de la probabilidad gracias a sus aportes son: Bernoulli (teorema y distribución), De Moivre (caso partícular del TLC), Gauss (teoría de errores y distribución), Laplace (teoría de errores y "Théorie analytique des probabilités").
Axiomatización de la probabilidad
En 1933 Andréi Kolmogórov publica "Los fundamentos de la teoría de la probabilidad" donde se axiomatiza la probabilidad utilizando como herramienta a la Teoría de la medida.
Espacio Muestral
El espacio muestral, denotado generalmente por la letra Ω, es el conjunto de TODOS los posibles resultados de un experimento aleatorio.
Ejemplo
Experimento: Lanzar dos dados y se observa la cara superior de cada uno de ellos.

Espacio muestral:






Evento
Un subconjunto del espacio muestral. Generalmente denotado por cualquier letra mayúscula.
Ejemplo
En el ejemplo anterior, el lanzamiento de dos dados, algunos eventos podrían ser:

Evento A: La suma de los dados es 7.


Evento B: Los dos dados muestran la misma cara.
Enfoques de la probabilidad
Axiomático
Como dijimos anteriormente, fue hasta 1933 que se asentaron las bases axiomáticas de la probabilidad, utilizando la teoría de la medida.

Una medida de probabilidad es una función que satisface:
Clásico
En el enfoque clásico de la probabilidad, se asume que todos los posibles resultados de un experimento tienen la misma probabilidad de aparecer. En base a esto se define la probabilidad de un evento A como:
Frecuencial
También llamado frecuentista o empírico.

Se define la probabilidad de un evento como su frecuencia relativa, tras repetir en varias ocasiones el experimento, bajo condiciones suficientemente estables.
Subjetivo
La probabilidad subjetiva se basa en el grado de credibilidad que se tiene sobre la ocurrencia de un evento.
Se asigna a un evento, con base en información recolectada y experiencia propia, por lo que puede cambiar de individuo a individuo
Notemos que la frecuencia de A siempre será menor o igual al total de observaciones.
Notemos que, en este caso, el número de casos favorables a A siempre es menor o igual que el número de casos totales.
Ejemplo
Consideremos el experimento que consiste en lanzar un dado. El espacio muestral es:
Calcular la probabilidad de los siguientes eventos:
A: Sale la cara con 6.
B: Sale la cara con 3.
C: Sale un número par.
D: Sale un número menor que 5.
E: Sale un número mayor o igual que 5.
Otro ejemplo
Para jugar al Melate se deben escoger 6 números entre 56. Calcula la probabilidad de ganarse el Melate.
Conjuntos y eventos
Consideremos el lanzamiento de un dado. Representemos los siguientes eventos como conjuntos.

A: el valor observado es par,
B: el valor observado es menor o igual a 4,
C: el valor observado no es par,
D: el valor observado es par o es un número menor o igual a 4,
E: el valor observado es par y es un número menor o igual a 4,
F: el valor observado es 7.
G: el valor observado no es par y es mayor a 3.
H: el valor observado no es par y es menor a 5.
Diferencia
La diferencia entre conjuntos, por ejemplo A-B (o A\B), se define como el conjunto de todos aquellos elementos que están en A, pero no están en B.
Operaciones de conjuntos
Contención y complemento
Definiciones
Conjunto
Un conjunto es una colección de elementos.

Subconjunto
Un conjunto dentro de otro conjunto.

Conjunto universo
El conjunto que contiene todos los elementos. En nuestro caso Ω.
Conjunto vacio
Un conjunto que no tiene elementos. Denotado por Φ.
Conjuntos ajenos
Decimos que los conjuntos A y B son ajenos, o mutuamente excluyentes si su intersección es vacia. Es decir, no comparten ningún elemento.
Supongamos que lanzamos un dado cargado, las probabilidades de cada una de las caras son las siguientes.





Calcula las probabilidades de los eventos A, B, C, D y E del ejemplo 2.
Ejemplo 3
Eventos simples y compuestos
Evento simple
Un evento simple es aquel que sólo contiene un elemento del espacio muestral.

Evento compuesto
Un evento compuesto es aquel que contiene más de un elemento del espacio muestral. Puede formarse como la unión de varios eventos simples.
Consideramos el experimento de lanzar un dado honesto. Calcular la probabilidad de los siguientes eventos:

A: el valor observado es par,
B: el valor observado es menor o igual a 4,
C: el valor observado no es par,
D: el valor observado es par o es un número menor o igual a 4,
E: el valor observado es par y es un número menor o igual a 4,
F: el valor observado es 7.
G: el valor observado no es par y es mayor a 3.
H: el valor observado no es par y es menor a 5.
Algunas propiedades de la probabilidad son:
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Si tenemos las probabilidades de los eventos simples, se pueden calcular la probabilidad de cualquier evento compuesto.
Un establecimiento acepta pagos con tarjeta de credito, ya sean Visa o American Express.
Sabemos que el 22% de sus clientes cuentan con una tarjeta American Express, un 58% cuenta con una tarjeta Visa y el 14% tiene ambas.

¿Cuál es la probabilidad de que un cliente cualquiera tenga al menos una de estas tarjetas?
Ejemplo
Una prueba diagnóstica de cáncer tiene una certeza del 95% para detectar la enfermedad en pacientes que la tengan y con un error del .5% detectando la enfermedad en pacientes que no la tienen. Si un .4% de la población tiene cáncer

¿Cuál es la probabilidad de que la prueba salga positiva para cáncer en un paciente cualquiera?
Dado que la prueba indica que un paciente tiene cáncer, ¿Cuál es la probabilidad de que ese paciente padezca la enfermedad?

Probabilidad total
Supongamos que son una partición del espacio muestral, es decir
Ejemplo
En una urna hay 3 bolas. Una verde, una roja y una negra. El experimento consiste en extraer bolas, sin remplazo, y observar su color. Calcular la probabilidad de que la segunda bola extraída sea verde, dado que la primera es roja.

¿Qué pasa si después de observar el color de la bola, ésta se regresa a la urna? Calcular de nuevo la probabilidad de que la segunda extracción sea verde dado que la primera fue roja.
Ejemplo
Se estima que el 30% de la población de los Estados Unidos sufre de obesidad, el 3% de la población tiene diabetes, y el 2% son obesos y sufren de diabetes. Calcula la probabilidad de que una persona:

sufra de diabetes dado que es obeso.
sea obesa dado que tiene diabetes.
Definición
Sean A y B dos eventos, tales que
Definimos la probabilidad condicional de B dado A como:
Ejemplo
Consideremos el lanzamiento de dos dados. El espacio muestral está dado por:
Motivación
Hay momentos en los que, por alguna razón, sabemos algo de información sobre el fenómeno que estamos estudiando. Esta información podría modificar la probabilidad de ocurrencia de un evento. Por ejemplo:
Probabilidad de padecer una enfermedad // prueba positiva.
Probabilidad de que las acciones de una compañía suban de precio // se despide al director.
¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los dos dados sea 2?

Si sabemos que un dado salió 1, ¿cuál es la probabilidad de que la suma sea 2?
Independencia de eventos
Decimos que dos eventos A y B son independientes si la probabilidad de cada uno de ellos no cambia al condicionarla con el otro. Es decir, A y B son independientes si:
Utilizando la definición de probabilidad condicional obtenemos que A y B son independientes si:
Entonces la probabilidad de un evento B se puede calcular como:
Ejemplo: En el ejercicio anterior, sin remplazo, calcular la probabilidad de que la segunda extracción sea roja.
Teorema de Bayes
Ejemplo
V.a. Binomial(n,p)
Ejemplo
V.a. Bernoulli (p)
Función de masa o densidad
En el ejemplo anterior, toda la información necesaria para conocer completamente a la variable son las probabilidades de cada uno de los posibles resultados:
Ejemplo
Consideremos el experimento de lanzar dos dados. Su espacio muestral es:
Definición
Una variable aleatoria (v.a.) es una función


que transforma los resultados de un fenómeno aleatorio, en números reales.
En otras palabras, una variable aleatoria asigna un número a cada posible resultado de un fenómeno aleatorio.

El conjunto R es llamado rango. Si el rango es un conjunto discreto, entonces se dice que la v.a. es discreta.
Ahora, consideremos la variable aleatoria X que representa la suma de ambos dados. Su rango es:
Definición
Si X es una v.a. discreta, definimos su función de densidad (o masa) como:
Gracias a las propiedades de la probabilidad la función de densidad cumple que
Consideramos un experimento con dos posibles resultados: un éxito, con probabilidad p, y un fracaso, con probabilidad 1-p. La v.a. Bernoulli asigna el número 1 al éxito y el 0 al fracaso.
Su función de densidad está dada por:
Parámetros
Un parámetro es un valor fijo que nos otorga información sobre el modelo que utilizamos para representar un fenómeno aleatorio.

Ejemplos:
Bernoulli (p), donde p es la probabilidad de éxito.
Binomial(n,p), donde n es el número de experimentos y p es la prob. de éxito.
Poisson(λ), donde λ es la esperanza de la v.a.
La v.a. Binomial(n,p) cuenta el número de éxitos obtenidos en n experimentos Bernoulli independientes, con probabilidad de éxito p.
Su función de densidad es:
La función de distribución (de probabilidad) nos indica de que forma está distribuida la probabilidad sobre el rango de una v.a. Se define como:
En el caso de una v.a. discreta, la función de distribución se puede relacionar con la función de densidad de la siguiente forma:
Ejercicio
En una línea de producción se sabe que la probabilidad de que un producto sea defectuoso es de 0.05. Si se analiza una muestra de tamaño 5, ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos un producto defectuoso?
Ejercicio
Supongamos que el número de clientes que llegan a un banco, en cierta hora del día, sigue una distribución Poisson con parámetro λ=5.

¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente 6 clientes en esa hora?

La densidad Poisson(λ) está dada por:

Función de distribución
Momentos de v.a.
Se apuesta un peso a que sale Águila en un volado con una moneda honesta, i.e. p=0.5.
Antes de realizar el experimento, ¿Cuánto dinero esperaría recibir?


¿Qué pasaría si la probabilidad de obtener águila fuera de 0.8?
Esperanza
La esperanza de una v.a. discreta X, denotada por E[X] o μ, es un promedio ponderado de los posibles resultados (elementos del rango) ponderados por la probabilidad de que se obtenga dicho resultado. Es decir,
La esperanza de una v.a. es el valor alrededor del que se acumula la probabilidad.

Este valor puede, o no, pertenecer al rango.
Varianza
La varianza de una v.a. X, denotada por σ², es un promedio ponderado de la distancia cuadrada de los posibles resultados (elementos del rango), a la media (o esperanza) ponderada por la probabilidad de que se obtenga dicho resultado. Es decir,
La varianza de una v.a. nos indica que tan dispersa está la probabilidad sobre el rango de la v.a.
Normal estándar
Cuando una v.a. Normal tiene media 0 y varianza 1, se dice que es una variable Normal estándar. Generalmente se denota por Z.

Una v.a. Normal(μ,σ²) se puede transformar en una Normal estándar, el proceso se conoce como estandarización.
Ejemplo
El coeficiente intelectual de una persona se distribuye de manera normal con media 100 y varianza 201.64. Calcular la probabilidad de que una persona tenga un coeficiente mayor a 130, y la probabilidad de que dicho coeficiente se encuentre entre 90 y 115.
La gráfica de la densidad normal es una curva en forma de campana (conocida como al campana de Gauss), que es simétrica con respecto a μ y cuya escala depende de σ.
V.a. Normal (Gaussiana)
El modelo de v.a. Normal es el más importante de los modelos de v.a.´s continuas. Está caracterizada por dos parámetros, la media (μ) y la varianza (σ²).
Su función de densidad está dada por:
Función de densidad
La función de densidad de una v.a. continua se define como la derivada de su función de distribución. Es decir,
Definición
Ejemplos
Tiempo de llegada de un tren.
Cantidad de precipitación en una región.
Tiempo de supervivencia de un paciente con cáncer que se somete a radioterapia.
Estatura de una persona.
Tipo de cambio peso-dólar.
Índice de inflación anual de un país.
Función de distribución
La función de distribución de una v.a. continua se define igual que la de una v.a. discreta. Es decir, si X es una v.a. continua, su función de distribución se define como:
Ejemplo
Se sabe que la duración de una llamada telefónica tiene una distribución exponencial con parámetro λ=0.1. Si la función de distribución exponencial(λ) es:
Calcular la probabilidad de que una llamada dure menos de 10 min.
Visto de otra forma, la función de distribución es la integral de la función de densidad.
Esto nos dice que la probabilidad de que una variable continua se encuentre en un intervalo, se puede obtener como el área bajo la curva de la función de densidad.
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