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Calculo integral

plan lector 2º bloque
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on 22 March 2015

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Transcript of Calculo integral

Calculo integral
Aplicaciones de
la integral

El origen de la integral
Nos situamos a comienzos del
siglo XVII
, justamente después de la aparición del concepto de función, cuando comienza a tomar forma el cálculo.

Se plantean diferentes problemas como: obtener longitudes de curvas; las áreas acotadas por curvas; los volúmenes acotados por superficies; los centros de gravedad y la atracción gravitatoria entre cuerpos extensos.
La integral definida es un método rápido para calcular áreas, volúmenes, longitudes, etc.,
lejos de los procesos lentos y laboriosos que empleaban los griegos. En física, su empleo es constante, al
estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad...

Cálculo de áreas planas

Su suma es el área.
Ahora bien, el área de un recinto es siempre positiva, mientras que la integral puede ser positiva, negativa o nula.
Por tanto, debe tenerse en cuenta el signo de cada uno de los recintos limitados por el eje OX , y tomar el valor absoluto de los mismos, cuando sea necesario.
Cálculo de volúmenes
Otra aplicación importante es el poder calcular el volumen de un sólido tridimensional.

Si una región de un plano gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una región
tridimensional llamada
sólido de revolución
generado por la región plana alrededor de lo que se conoce como
eje de revolución
.

Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según el eje que se tome.
Aplicaciones del cálculo integral
Los
griegos
ya habían aplicado métodos para el cálculo de áreas y volúmenes. Pero los métodos más significativos para resolver estos problemas los utilizaron
Newton
y
Leibniz
.
El cálculo integral tiene
distintas aplicaciones.
Uso
Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción.

Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos

Podemos calcular la longitud de arco de una curva plana aplicando integrales.

Lo que haremos será aproximar un arco (un trozo de curva) por segmentos rectos cuyas
longitudes vienen dadas por la fórmula:
Longitud de un arco
Ahora buscamos calcular el área de una superficie de revolución.
Si se gira la gráfica de una función continua alrededor de una recta, la superficie resultante se conoce como
superficie de revolución
.
Área de una superficie de revolución


Casos que no son permitidos por la definición de integral.

La definición de integral definida requiere que el intervalo [a ,b ] a b sea finito. Además, el teorema fundamental del cálculo, con el que hemos estado evaluando integrales, exige que f sea continua en [a ,b ] .
En esta sección incluye integrales que incumplen estos requisitos, bien sea, porque uno o ambos límites de integración son infinitos, o porque f tiene en [a ,b ] un número
finito de discontinuidades infinitas.
Integrales impropias
Más datos
http://www2.uca.es/facultad/innova-empresariales/bego/matonline/int-impropias.html

Aplicaciones que se refieren al concepto de
masa
.
La masa se considera una medida absoluta de la cantidad de materia de un cuerpo, sin embargo, son tantas las aplicaciones en que aparece la masa en la superficie terrestre, que tendemos a igualar la masa de un objeto con su peso. Esto es técnicamente incorrecto. El peso, es un tipo de fuerza y, como tal, depende de la gravedad.

Fuerza = Masa x Aceleración
Para ello nos ayudaremos también de las integrales.
Centroides y teorema de Pappus
Teorema de Pappus
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