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Derivadas

Esta apresentação aborda um dos conceitos mais importantes da matemática e aplicações deste conceito.
by

Professor Robaina

on 16 October 2014

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Transcript of Derivadas

DERIVADAS
Para iniciar o estudo deste importantíssimo conceito da Matemática precisamos relembrar alguns conceitos das aulas de Física do Ensino Médio!
Você aceita o desafio?
Um exemplo?!
TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA
Considere a função f(x) = x², que define a produção (em toneladas) de uma Empresa, em função do número de horas trabalhadas (x).

Vamos supor que o início do expediente, que é representado por x = 0, foi 0:00 horas.
Você pode verificar que a produção cresce, proporcionalmente, com o quadrado do número de horas trabalhadas, isto é, um intervalo de uma hora, entre 2 h e 3 h, por exemplo, vai gerar uma produção menor que um intervalo de uma hora, entre 5 h e 6 h.

Concorda?
Você deve ter observado que, mesmo sendo um intervalo igual (de 1 hora), a variação da produção não foi a mesma.

Em linguagem matemática, dizemos que a taxa de variação média da produção, das 2 às 3 horas foi de 5 ton/h e que a taxa de variação média da produção, das 5 às 6 horas foi de 11 ton/h.
Dizemos que a taxa de variação média de uma função y = f(x), no intervalo de a até b (x variando de a até b) é a razão definida por:
Definição:
Esta razão apresentada tem uma representação específica na matemática, que é:
Considere a função f(x) = x²-2x+ 1. Determine a taxa de variação desta função no intervalo [2, 5].
Vejamos um segundo exemplo:
Interpretação Geométrica da Taxa de Variação entre dois pontos
A taxa de variação média no intervalo
[a, b] é numericamente igual ao coeficiente angular da reta r que passa nos pontos do gráfico, cujas abscissas são os valores a e b.
Você deve ter observado que, quando a função é crescente, a taxa de variação média entre dois pontos será sempre POSITIVA.



Você também também deve ter observado que, em uma função decrescente, a taxa de variação média entre dois pontos será sempre NEGATIVA.
A noção de taxa de variação instantânea está relacionada a noção de limite de uma função.

No primeiro exemplo encontramos a taxa de variação média de produção entre as 2 horas e as 3 horas, e encontramos 5 toneladas/h, certo?
TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA
Como você faria para determinar a taxa de variação EXATAMENTE no instante t = 2 h?
Uma ideia interessante seria aproximar os dois pontos (no caso instantes).

Por exemplo, você poderia considerar 2 h e 2:30 ou
2 h e 2:15 ou
2 h e 2:01 ou ainda
2 h e 2 h 5 s.
Matematicamente, através deste procedimento, você estaria buscando o limite da taxa de variação média, quando o intervalo (x) tende a zero.
Os dois pontos a e b que usamos na taxa de variação média podem ser representados por a e b = a + h. Como desejamos que b se “aproxime” de a, para o cálculo da taxa de variação no ponto a, calculamos o limite da taxa de variação média entre a e a + h, quando h tende a 0, ou seja:
Taxa de variação instantânea da função y = f(x) no ponto a:
Exemplo 1.
Obtenha a taxa de variação da função f(x) = x² no ponto x = 2.
Exemplos?
SAIBA QUE a taxa de variação instantânea é denominada de
derivada da função
f(x) no ponto considerado.
No
exemplo 1
, você verificou que a derivada da função, representada por f`(x), é igual 2x.

Ou seja,



f`(x) = 2x
DESAFIO: O que será que ocorreria se a função fosse constante entre esses pontos?
Exemplo 2:

Obtenha a derivada da função
y = 3x² + 4x – 3.
Interpretação Geométrica da Derivada de uma Função num Ponto Dado
Observe que como a derivada é uma taxa de variação instantânea, a reta que era SECANTE à curva na taxa de variação média passa a ser TANGENTE à curva no ponto considerado.
Assim, podemos dizer que o valor da derivada de uma função num ponto dado é igual ao coeficiente angular da reta tangente à curva nesse ponto.
Você deve ter observado que é muito trabalhoso determir as derivadas em cada ponto de uma função. Portanto, uma estratégia inteligente é determinar uma expressão geral que permita o cálculo da derivada em qualquer pondo desejado (se ela existir, é claro).

A expressão determinada é denominada de função derivada (f´(x)) e, para isso, você pode determinar fórmulas que facilitem a descoberta da função derivada, sem precisar recorrer ao limite que define a taxa de variação instantânea.
A Função Derivada
Crescimento de uma Função / Máximos e Mínimos
Aplicações das Derivadas
Uma das grandes utilidades práticas das funções derivadas é permitir que possamos saber os intervalos do domínio onde uma função é crescente, decrescente ou mesmo constante. Pelo que mostramos nas taxas de variação, quando uma função for crescente, sua derivada será POSITIVA no intervalo, quando for decrescente, a derivada será NEGATIVA.
Determine os intervalos para os quais a função real definida por f(x)=x³-x²+x-1 é crescente.
Exemplo:
Histórico...
Excelente vídeo, mas está em espanhol.
http://www.mat.ufpb.br/sergio/winplot/

http://ecalculo.if.usp.br/

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/derivada/derivada1.htm
Amplie seus conhecimentos:
Referências:
http://magiadamatematica.com/uss/administracao/09-derivadas.pdf

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/derivada/derivada1.htm
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