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Funciones Trigonométricas

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on 21 October 2014

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¿Que es la Trigonometría?
La trigonometría es la parte de la geometría que estudia la relación entre todas las medidas de lados y ángulos de un triangulo. La trigonometría se puede definir como "medidas de triángulos".
La trigonometría solo se puede utilizar en triángulos rectángulos, sea isósceles o escalenos.
En términos generales la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas:
Seno
coseno
tangente
cotangente
secante
cosecante
¿Como se trabaja?
Identidad Trigonométrica
Gráficas de las funciones
Dominio y Recorrido de las funciones
Ecuaciones Trigonométricas
Son aquellas en las cuales la incógnita parece como un ángulo de funciones trigonométricas. No existe un método general para resolver una ecuación trigonométrica. Generalmente se transforma toda la ecuación de manera que quede expresada en un sola función trigonométrica y entonces se resuelve como una ecuación algebraica cualquiera.
graficas de las funciones
Fin!
Funciones Trigonométricas
Javiera Delgado
Mauricio Miranda


La resolución de triángulos rectángulos existen de las siguientes formas:
Mediante angulos:
Usando la tabla establecida de funciones trigonometricas, asi conociendo los angulos se puede conocer los lados
*La Trigonometría, Se aplica a todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión, también se aplica a la geometría del espacio (tridimensional)"
Seno
Coseno
Tangente
Cotangente
Cosecante
Secante
Sen= Cateto Opuesto/ Hipotenusa
Ejemplo:
Se le llama coseno a la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.
Cos= Cateto Adyacente/ Hipotenusa
Se le llama tangente a la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente al ángulo.
Tg= Sen/Cos = Cateto Opuesto/ Cateto Adyacente
Ejemplo:
Se le llama cotangente a la razón inversa de la tangente.
Cotg= 1/Tg= Cos/Sen= Cateto adyacente/Cateto opuesto
Ejemplo:
Se le llama cosecante a la razón inversa del seno.
cosec= 1/sen= Hipotenusa/Cateto Opuesto
Ejemplo:
Se le llama secante a la razón inversa del coseno.
sec= 1/cos= Hipotenusa/ Cateto Adyacente
Ejemplo:
Encontrar el valor de secX
*Para encontrar el valor de la secante, hay que sacar la longitud de la hipotenusa
Hay 3 tipos de identidades trigonométricas fundamentales:
-Relación seno - coseno (identidad pitagorica)
-Relación secante - tangente
-Relación cosecante - cotangente
Relación Seno - Coseno
Relación Cosecante - Cotangente
Razones trigonométricas
cos² α + sen² α = 1

Los ángulos con vértice en A y C son agudos, el ángulo con vértice en B es recto. Este triángulo se caracteriza por que los lados de los ángulos agudos son la hipotenusa y los lados del ángulo recto son los catetos ( que pueden ser cateto opuesto al ángulo o cateto adyacente al ángulo).
Cateto adyacente es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia
Cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este.
Ejemplo:
Resolver la ecuación:
3 + 3cos x= 2sen²x


Expresando el seno en función del coseno:
3+ 3cos x= 2(1-cos² x)
3+ 3cos x= 2-2cos² x
2cos² x + 3cos x + 3-2 = 0
2cos² x + 3cos x + 1 = 0
Considerando cos x como incognita y aplicando la formula de la ecuacion de segundo grado resulta:
=
=
=
Separando las dos raices:
Las soluciones son:
Para cos x = (-1)/2... x=120° ± n 360°

Para cos x = -1... x=180° ± n 360°



Consideramos como “Gráficas de las funciones" a seno, coseno y tangente al comportamiento que van presentando dichas funciones de un conjunto de valores entrantes, llamado así mismo dominio y su conjunto de valores de salientes llamado recorrido. Estos dos valores (Entrante, Saliente) es lo que conforma en un momento dado una secuencia de elementos (Coordenada) a la cual le otorgamos una interpretación gráfica como elementos de un (Sistema de coordenadas cartesianas) formando una gráfica.
Gráfica seno
Relación conocida como:
y = sen x
Gráfica coseno
Relación conocida como:
y = cos x
Gráfica tangente
Relación conocida como:
y = tan x
Dado un triángulo rectángulo como el de la figura se sabe que los catetos miden:
a = 4
b = 8
Calcula la cotagente del ángulo A
Cotg = 8/2 = 2
Dado un triángulo rectángulo como el de la figura se sabe que los catetos miden:
a = 2
b = 2
Calcula la cosecante del ángulo
1. hip = 4+4 = 16
2. cosec = 16/2 = 8
Dado un triángulo rectángulo como el de la figura se sabe que los catetos miden:
a = 5
b = 12
Calcula la tangente del angulo X

Tan = 12/5 = 2,4
Ejemplo:
Dado un triángulo rectángulo como el de la figura se sabe que los catetos miden:
a = 4
b = 8
Calcula el coseno del ángulo B

1. Hip = 16 + 64 = 100
2. cos = 4/100 = 0.04
Dado un triángulo rectángulo como el de la figura se sabe que los catetos miden:
a = 3
b = 5
Calcula la secante del ángulo A

1. Hip = 9 + 25 = 34
2. Sen = 3/ 34 = 0.09
Formulas:
1. Sen
2. Cos
3. Tan
4. Cot
5. Sec
6. Cosec
1/ Cosec
1/Sec
1/Cot
1/Tan
1/Cos
1/Sen
Sen/Cos
Cos/Sen
Identidad Pitagórica:
Identidad pitagórica/ sen²

cos²/ sen²α + sen²/sen² α = 1/sen²

cot² + 1 = cosec²
Secante - Tangente
Identidad pitagórica / cos²

sen²/ cos² + cos²/ cos²= 1/ cos²

tan² + 1 = sec²
Ejemplo de identidad
Comprobar si se cumple la identidad:
Tenemos: cosX * cotX * sen²X =? 1/secX
1/ senX * cosX/senX * sen²X =? cosX
cosX*sen²X / sen²x =? cosX

cosX = cosX
La identidad se cumple
El seno es la razón que existe entre el cateto opuesto y la Hipotenusa.
Función del Seno
Y = seno X
El dominio de la función "y = sin x" son todos los números reales (el seno está definido para cualquier
medida de ángulo), el rango es −1 ≤ y ≤ 1.
Función del Coseno
Y = coseno X
Función de Tangente
Y = Tan X
El dominio de la función "y = cos x" es todos los números reales (el coseno está definido para cualquier medida de ángulo),
el rango es −1 ≤ y ≤ 1.
El dominio de la función "y = tan x" son todos los números reales excepto los valores donde el cos x es igual a 0, esto es, los valores para todos
los enteros n. El rango de la función
tangente es todos
los números reales.
Las relaciones trigonométricas también pueden ser consideradas como funciones de una variable que es la medida de un ángulo (que puede ser dada en grados o radianes).

Aquí, usaremos radianes. Ya que cualquier ángulo con una medida mayor que 2π radianes o menor que 0 es equivalente a algún ángulo con medida 0 ≤ θ < 2π, todas las funciones trigonométricas son periódicas.
Ángulos mas utilizados trigonometría
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas, estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas a aquellas funciones. Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas
"se expresan todos los términos de la igualdad en función del seno y coseno y se efectúan las operaciones indicadas, consignase asi la identidad de ambos miembros"
Mediante los lados:
Usando los lados, cateto opuesto, cateto adyacente e hipotenusa, se puede conocer los angulos mediante las razones trigonometricas.
Caracteristicas de la funcion seno:
Dominio: IR
Recorrido: [-1,1]
El periodo de la funcion seno es 2π
La funcion y=senx es impar, ya que sen(-x)= -senx, para todo x en IR
La grafica de y=senx intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x=nπ, para todo numero entero n
El valor maximo de senxes 1, y el minimo valor es -1. La amplitud de la funcion y=senx es 1
Caracteristicas de la funcion coseno:
Dominio: IR
Recorrido: [-1,1]
Es una funcion periodica y su periodo es 2π
La funcion y=cosx es par, ya que cos(-x)= cosx, para todo x en IR
La grafica de y=cosx intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x=(π/2) + nπ, para todo numero entero n
El valor maximo de cosxes 1, y el minimo valor es -1. La amplitud de la funcion y=cosex es 1
Caracteristicas de la funcion tangente:
Dominio: IR
Recorrido: [-1,1]
Es una funcion periodica y su perdiodo es π
La funcion y=tanx es impar, ya que tan(-x)= -tanx
La grafica de y=tanx intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x=nπ, para todo numero entero n
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