Loading presentation...

Present Remotely

Send the link below via email or IM

Copy

Present to your audience

Start remote presentation

  • Invited audience members will follow you as you navigate and present
  • People invited to a presentation do not need a Prezi account
  • This link expires 10 minutes after you close the presentation
  • A maximum of 30 users can follow your presentation
  • Learn more about this feature in our knowledge base article

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

DeleteCancel

Make your likes visible on Facebook?

Connect your Facebook account to Prezi and let your likes appear on your timeline.
You can change this under Settings & Account at any time.

No, thanks

Idea dyskretyzacji MES

No description
by

Ula B

on 5 March 2016

Comments (0)

Please log in to add your comment.

Report abuse

Transcript of Idea dyskretyzacji MES

Idea dyskretyzacji MES
dla 1- i 2-wymiarowych zagadnień

Opracowała: Urszula Batkiewicz
Plan prezentacji
1. Wprowadzenie: opis metody elementów skończonych (MES)

2. Krok po kroku: algorytm metody

3. Przykład: belka

4. Podsumowanie

5. Bibliografia
1. Co to jest MES?
Jedno z podstawowych narzędzi komputerowego wspomagania analiz inżynierskich
3. Przykład:
Podsumowanie
Zastosowanie MES we wspomaganych komputerowo analizach inżynierskich >> szybkie osiągnięcie wyników
Bibliografia
Prezentacja nr 3
Seminarium dyplomowe 2015
Metoda dyskretyzacji układów geometrycznych ciągłych - podziału układu na skończoną liczbę podobszarów
Metoda aproksymacji - czyli otrzymywania rozwiązań przybliżonych równań różniczkowych cząstkowych (RRC), stanowiących model matematyczny
2. Krok po kroku: algorytm metody
Podział obszaru na podobszary
Wynikiem podziału jest zastąpienie obszaru zbiorem elementów skończonych (dyskretyzacja).
Liczba, kształt i typ elementu zależą od obszaru i rozwiązywanego równania różniczkowego.
Rys. 1. a) belka podzielona na ES, b) tarcza przed podziałem na elementy skończone, c) tarcza podzielona na ES
a) Ustalenie liczby węzłów i elementów tworzących tzw. siatkę skończenie elementową
Element skończony
– prosta figura geometryczna (płaska lub przestrzenna), dla której określone zostały punkty zwane węzłami, oraz pewne funkcje interpolacyjne służące do opisu rozkładu analizowanej wielkości w jego wnętrzu i na jego bokach. Funkcje te nazywają się funkcjami kształtu (węzłowymi).

b) Wygenerowanie współrzędnych węzłów siatki i utworzenie tablicy nazywanej tablicą topologii (lub incydencji)
Rys. 3 Tablica topologii - zawiera relacje pomiędzy numerami elementów i numerami węzłów siatki (określenie miejsca elementu w siatce)
KROK 1
a) Wyznaczenie funkcji aproksymacyjnych dla elementu
. Dla każdego elementu w siatce ustalane są funkcje aproksymacyjne, konieczne do rozwiązania - funkcje te są wyrażone poprzez wartości funkcji interpolowanych w wybranych punktach (węzłach elementu).
KROK 2
Rys. 2. Schematy ideowe wybranych elementów skończonych: a) 1D, b) 2D, c) 3D
b) Wariacyjna aproksymacja równań
Przy wykorzystaniu funkcji wyznaczonych w a), budujemy dla elementu układ równań algebraicznych z niewiadomymi węzłowymi.
Złożenie (agregacja) elementów
KROK 3
Budowa układu równań dla wszystkich elementów siatki.

Etap ten można interpretować jako „wstawienie” elementów z powrotem do siatki, które w kroku poprzednim były traktowane jako wyizolowane. W rezultacie otrzymujemy układ równań MES rozwiązania całego problemu.
Uwzględnienie warunków brzegowych
KROK 4
Wprowadzenie podstawowych i naturalnych warunków brzegowych do zagregowanego układu równań
Rozwiązanie równań
KROK 5
Rozwiązanie układu równań algebraicznych ze względu na niewiadome węzłowe
Obliczenie dodatkowych wielkości
KROK 6
Przy wykorzystaniu wyznaczonych wielkości węzłowych obliczenie wartości funkcji rozwiązania i ich pochodnych w innych niż węzły punktach obszaru.
Element skończony belkowy
Rys. 4 Belka ciągła
Przy rozwiązaniu pomijamy ciężar własny.
Rys. 5 Model belki skończenie elementowy
KROK 1: Dyskretyzacja MES
Belka jest zdyskretyzowana dwoma elementami:
Wektory globalne stopni swobody i uogólnionych sił węzłowych mają postać:
Tablica topologii:
KROK 2: Obliczenie macierzy i wektorów dla elementów
Macierz sztywności:
KROK 2: Obliczenie macierzy i wektorów dla elementów
Dla elementu 1:
jest momentem bezwładności przekroju poprzecznego

gdzie przyjęto, że obciążenie ma stałą intensywność
Macierz sztywności:
Wektory sił węzłowych:
Dla elementu 2:
KROK 3: Agregacja i budowa równań MES
Warunki ciągłości przemieszczeń uogólnionych w węzłach belki mają następującą postać:
Rys. 6 Siły węzłowe i przemieszczenia uogólnione dla elementów
Układ równań MES utworzony przy wykorzystaniu tablicy topologii ma formę:

KROK 4: Uwzględnienie podstawowych warunków brzegowych i warunków
równowagi sił w węzłach
Jednorodne kinematyczne warunki brzegowe mają postać:
A statyczne warunki brzegowe wyrażają równania:
Otrzymujemy układ równań z sześcioma niewiadomymi: trzema niewiadomymi pierwotnymi i trzema niewiadomymi wtórnymi:
KROK 4: Uwzględnienie podstawowych warunków brzegowych i warunków
równowagi sił w węzłach
Niewiadome wtórne wyznaczymy z pierwszego, trzeciego i piątego równania:
Rys. 7 Niewiadome pierwotne (a) i niewiadome wtórne z siłami węzłowymi (b) dla belki ciągłej

KROK 5: Obliczenie wektorów sił przywęzłowych w elementach
Siły przywęzłowe obliczymy z równania równowagi elementu:
Element 1:
Wektor przemieszczeń węzłowych elementu i wektor sił przywęzłowych:
Rys. 8 . Siły przywęzłowe dla elementu 1 (a),
wykresy siły poprzecznej (b) i momentu
zginającego (c)

KROK 5: Obliczenie wektorów sił przywęzłowych w elementach
Element 2:
Wektor przemieszczeń węzłowych elementu i wektor sił przywęzłowych:
Rys. 8 . Siły przywęzłowe dla elementu 1 (a),
wykresy siły poprzecznej (b) i momentu
zginającego (c)

Cecot W., Cichoń Cz., Krok J., Pluciński P.
Metody komputerowe w liniowej mechanice konstrukcji
Dzierżanowski G., Sitek M.
Samouczek metody elementów skończonych
Budzyński A.
Krótki wstęp do zastosowania metody elementów skończonych
Banaś K.
Wprowadzenie do MES
Kacprzyk Z., Rakowski G.
Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji
Materiały i notatki z wykładów z przedmiotu Metody komputerowe w inżynierii lądowej
Dziękuję za uwagę
Wyniki analiz MES są zawsze obarczone pewnym błędem (błąd modelowania, wartości współczynników, odwzorowania obszaru, dyskretyzacji, zaokrągleń)
Wyniki należy poddać weryfikacji
Pamiętajmy o niepodważalnym wkładzie polskich uczonych w rozwój MES!
Wektor obciążenia:
Full transcript