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Hallar la ecuación de la elipse concéntrica con la circunferencia

La circunferencia y su ecuación cartesiana
by

Alfredo García Zavala

on 26 October 2013

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Transcript of Hallar la ecuación de la elipse concéntrica con la circunferencia

Hallar la ecuación canónica de la elipse concéntrica con la circunferencia:
1.
x² + y² + 6x - 4y - 12 = 0
Solución:
Ordenamos para completar cuadrados y encontrar las coordenadas del centro.

x² +
6
x + y² -
4
y = 12

( x + )² + ( y - )² =
3
2
25
( x- h )² + ( y - k )² = r²
C( -3 , 2)
r = 5
6
4
2
2
2
2
6
4
( )
2
( )
2
+ ( )
2
+ ( )
2
+
+
Sabiendo además que un lado recto de la elipse coincide con el eje de las ordenadas y que sus vértices V y V' son puntos de la circunferencia.
Ubicamos la circunferencia en el plano.
Si un lado recto coincide con el eje Y, entonces un foco se encuentra en (0,2)
Y el otro en (-6,2)
Si sus vértices V y V' son puntos de la circunferencia, entonces sus coordenadas son:
V(2,2)
y V'(-8,2)
Ahora sabemos que la distancia del centro a uno de sus focos es:
c=3
Y que la distancia de su semieje mayor es:
a=5
Con esta información, podemos obtener b, pues sabemos que:
a² = b² + c²
Por lo tanto:
b=4
Finalmente sustituimos en la ecuación:
(x+3)² (y-2)²
+
25
16
= 1
(x-h)² (y-k)²
a² b²
=1
pues la elipse es horizontal
B
B'
V
V'
F
F'
+
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