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Derivada

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by

rocky balboa

on 12 November 2013

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Transcript of Derivada

Límite
Valor de una variable “x” cuando se aproxima o tiende a una constante “a” como límite, cuando la diferencia entre el valor de la constante y de la variable se hace cada vez menor.
Derivada
Pendiente de la recta tangente en un punto cualquiera de una curva.
Derivabilidad y continuidad
Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.
Si una función es derivable, entonces es continua.

• f es derivable en x=a.
• f es continua en x=a.

Formas de derivar
Por definición
• Siempre buscas eliminar X (con factorización)
• En ocasiones necesitas racionalizar la expresión
Se resuelve con la siguiente fórmula:
Introducción
Cálculo diferencial es la “cereza del pastel” porque no simplemente es un análisis matemático sino que es el estudio de las funciones cuando sus variables cambian y estas diferencias pueden ser sumamente pequeñas (infinitesimales).
Es una materia en la que no simplemente aprendes a derivar, también a cómo y en qué ámbitos de tu vida aplicarías cada concepto. Pero nosotros como jóvenes estudiantes, al pensar en las matemáticas se nos pone la piel chinita de miedo y aun más cuando nos hablan de cálculo, derivadas o funciones. Por ello realizamos esta presentación con el objetivo de sintetizar la idea de cada concepto a lo más mínimo con ayuda de ejemplos e importantísimos TIPS que nosotras mismas hemos llevado a la práctica (y créeme que si son de gran ayuda).
Esperamos cumplir con este objetivo y suerte con esta materia, sabemos que llegara a gustarte.

Si X tiende a cero, la recta L (que es la secante) coincide con Lt (la tangente), entonces la pendiente de la tangente es el límite de la secante.

Esa es la explicación de qué es la derivada :D

Para comprender este tema, necesitamos recordar que es una
Razón
Razón de Cambio
Relación de dos números
Formas de representar una razón...
1.- a:b
2.- a ÷ b
3.- a/b (como fracción)
4.- La razón de a es a b.

¿Qué es una razón de cambio?
También llamada "tasa de cambio", es la medida en que una variable cambia con respecto a otra, en función del tiempo.

dx
dt

Algunas aplicaciones...
Economía: minimizar costos, maximizar calidad), física como velocidad, geometría, etc.
Biología: conocer la velocidad con que se multiplican las bacterias.
Física para obtener velocidad,aceleración,etc.

Su uso es generalmente para conocer cambio en la velocidad, aceleración o tiempo.

Pasos para resolver problemas...
1.-Traza un dibujo que muestre las variables y constantes presentes en el problema.
2.-Elabora un modelo matemático que relacione las variables
3.-Deriva el modelo matemático, respecto al tiempo.
4.-Despeja la incógnita y sustituye los datos que te dio el problema o que obtuviste.

Ejemplo

Un automóvil se dirige al norte de una ciudad a razón de 60km/h , al mismo tiempo un camión se dirige al este de la ciudad a razón de 80 km/h ¿Cuál es la razón con la que varia la distancia entre los vehículos cuando el automóvil y el camión se encuentran a 30 y 40 km, respectivamente, de su punto de partida?


1.- Dibujo...




x




y



z




Se debe encontrar con que rapidez se separan los vehículos dz/dt.
La figura representa un triangulo rectángulo, por lo tanto, se aplica el teorema de pitagoras para obtener la relación:
z2=x2+y2


Después se sustituye en el teorema de Pitágoras los valores de x y y para calcular z (cuando corresponden a 40 y 30 respectivamente)
MAXIMOS Y MINIMOS DE UN FUNCION.
los maximos o minimos de una funcion, son los valores mas grandotes o mas chiquitos que toma una funcion en un punto determinado ya sea dentro de una zona en particular de la curva o en el dominio de la funcion en su totalidad

Pasos para encontrar max y min.
1.calular la primera derivada.
2. Igualar a cero la primera y´, resolver la ecuacion para calcular los v. criticos de x.
3.sustituir cada valor critico en la funcion original para encontrar los puntos criticos.(max y min) segunda derivada.
*
NOTA: SIGNO DE LA 1D SEA POSITIVO ES CRECIENTE.
-NEGATIVO DECRECIENTE

SABIAS QUE?..
.
EN LA CANCION ESCLAVO DE TUS BESOS DE BISBAL, VIENE UNA EXPLICACION PERFECTA DEL PUNTO DE INFLEXION, APLICADO EN UNA RELACION AMOROSA DISFUNCIONAL
PUNTO DE INFLEXION.

Punto en la gráfica en la cual la pendiente de la tangente cambia su signo. Un punto de inflexión es un punto máximo local o un punto mínimo local.
CALCULA LA 2 DERIVADA PARA IGUALARLA A CERO PARA CALCULAR EL VALOR DE X DONDE HAY PUNTO DE INFLEXION.
f(x)= x3-3x+2
1.f(x)´=3x2-3x
2. 3x2-3x=o
x=-1 x=1
f(x)"=6x
f"(-1)=-6<0
max
f"(1)=6>0
min
3.
f(-1)
=(-1)3-3(-1)+2=
4

f(1)
=(1)3-3(1)+2=
0

max(-1,4)

min(1,0)


PASOS PARA P.I.
1.Hallar y", calcular sus raices.
f(x)=x3-3x+2
f(x)"=6x
x= 0
f(0)=(0)3-3(0)+2=2
P.I.(0,2)
2.Hacer la y´´´y calculamos el signo que toma en ella los ceros de y" y si
f(x)´´´=0(tenemos un P.I.)

Let's get it started...
Lím F(x)= L
x a

En pocas palabras…
“Cuando no podemos calcular algún valor directamente pero nos podemos acercar al resultado cada vez más y más, eso es un LÍMITE!!!”

Ejemplo:
Cuál es el valor de (x2-1)/(x-1) cuando x=1
(12-1)/ (1-1) = (1-1)/ (1-1) = 0/0


x (x2-1)/(x-1)
0.5 1.50000
0.9 1.90000
0.99 1.99000
0.999 1.99900
0.9999 1.99990
0.99999 1.99999
... ...
• Se observa que cada vez nos vamos
acercando mas a 2 por lo que el límite es 2:




¡Esto es una ABOMINACIÓN! En este caso es cuando usamos límites. Y usamos valores cercanos a 1
Tipos de límites:

Recordemos que “evaluar” simplemente significa sacar el valor y para ello solo ponemos en práctica los teoremas anteriores. Y sustituimos el valor de la “X” en cada caso. Ejemplo:


Límites por evaluación

Son aquellos cuyo resultado son 0/0, pero como ya lo mencionamos, esto es una ABOMINACION! Por lo que se busca otra forma de resolución para llegar a otro resultado.

Límites indeterminados
Límites cuando x tiende a infinito
para evaluar un limite te puedes ayudar de metodos como:
O por fórmulas...(un secretito es mucho más fácil así)
Funciones algebraicas
Funciones Trascendentes
Trigonométricas
Inversas trigonométricas
Logarítmicas y exponenciales
Implícitas
Derivadas de orden superior
Simplemente es derivar y derivar cuántas veces te lo indiquen :D
Conclusión

Conclusión: De este trabajo hemos obtenido muchos conocimientos, uno de ellos fue el aprender a utilizar la página prezi para conseguir una mejor presentación, aprendiendo así a utilizar otros medios, no solo PowerPoint. Pudimos recordar todo lo que hemos aprendido hasta ahora en nuestra materia de Cálculo Diferencial, además de datos extra, que antes ni siquiera nos imaginábamos; así como sus aplicaciones en nuestra vida cotidiana o en la carrera que queremos estudiar. Comprendimos la aplicación de las aplicaciones de la derivada en problemas, como el calcular máximos y mínimos, y problemas con razón de cambio. Finalmente, este proyecto nos sirvió para tener un previo estudio de nuestro tercer parcial y semestral.

Never Never Never dejes fracciones complejas en el denominador!

El ángulo de una función NO SE TOCA!
Al menos que utilices identidades trigonométricas.

Más tiiiiiiiiiiiiiiiiips
Cálculo Diferencial
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