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Teorema de Pitágoras

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by

Ricardo Mondolfi S.

on 24 January 2013

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Transcript of Teorema de Pitágoras

Demostraciones del
Teorema de Pitágoras Por Javier Aponte
y Ricardo Mondolfi Demostración de Leonardo Da Vinci a+b=c 2 2 2 Lo que Da Vinci hace es que incorpora proyecciones del triángulo original a la representación gráfica tradicional del teorema de Pitágoras.

Con él, forma varios cuadriláteros que cuando se colocan de cierta forma y se remueve la proyección del triángulo original, se obtiene el cuadrado de la hipotenusa.

Una excelente interpretación gráfica interactiva de esto se puede encontrar en la siguiente página:http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/pitagoras7.htm Demostración Da Vinci La demostración de Leonardo Da Vinci está basada en cuatro cuadriláteros iguales. El triángulo ABC es recto, y el ángulo ABH mide 45º. Como resultado, el área de uno + el de al lado = al área del otro + el de al lado. Cada suma se divide en dos triángulos iguales a ABC, o a IJH y BFE, que son triángulos iguales.

Esta demostración se deriva de la demostración básica del teorema

La diferencia es que aquí se coloca un proyección inversa del triángulo al lado del cuadrado de la hipotenusa, cuya punta recta se conecta con la del triángulo original para formar un ángulo de 45º y hacer las divisiones de los cuadriláteros. Duplicación del Cuadrado
Se construye un cuadrado cuyo lado es de dos unidades (izquierda, gris). En total, el área de este cuadrado valdría 4 unidades cuadradas.

Desde su diagonal AB, se traza un nuevo cuadrado el cual tendría un área de ocho unidades cuadradas (centro, azul), lo que sería doble superficie de la del primero. Demostración del teorema de Pitágoras por Platón
Lo planteado por Platón acerca de la duplicación del cuadrado incluye una demostración del teorema de Pitágoras, que aborda solamente a los triángulos rectángulos isósceles (figura 3).

La suma de las áreas de los cuadrados construidos en los catetos AC y BC (grises) del triángulo rectángulo ABC, es igual al área del cuadrado construido (azul) en la hipotenusa AB. Se pudiese decir que el cuadrado construido en la hipotenusa esta compuesto cuatro de estos triángulos. Demostración de Platón Demostración del teorema de Pitágoras por Ozanam La demonstración o, como también es referido, el rompecabezas de Ozanam está compuesto de cinco piezas de áreas especificas que permiten rellenar el cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triangulo.
  
Estas piezas se consiguen al cortar los cuadrados construidos sobre los dos catetos del triangulo de tal manera:

(La demonstración se realizara en base a la imagen adjunta) http://personal.telefonica.terra.es/web/imarti22/actividades/actividades/pitagoras/marco_pitagoras5.htm 1. A partir de un triangulo se construyen cuadrados en los catetos (lados C y B) y otro en la hipotenusa (lado A).

2. Se dibuja un cuadrado con la misma área que el cuadrado C al lado de la parte inferior del lado derecho del cuadrado B, como muestra la figura.

3. Se traza un segmento perpendicular a la hipotenusa de tal manera que continúe el lado ya trazado del cuadrado del cuadrado A. http://personal.telefonica.terra.es/web/imarti22/actividades/actividades/pitagoras/marco_pitagoras5.htm 4. Se determina el punto P, el punto final del segmento trazado en el paso anterior.

5. Desde el punto P, se traza un segmento perpendicular a la hipotenusa así dividiendo los cuadrados inferiores en cinco piezas. Demostración del teorema de Pitágoras por Pappus En esta demostración, el triángulo (en este caso ABC) no necesita ser rectángulo. Las formas que se dibujan a un lado de los catetos no tienen que ser cuadrados perfectos, pueden ser paralelogramas dibujados al gusto (representado abajo como ECDA y GCBF). Luego, se hace una proyección de ambos paralelogramas hacia arriba hasta que se unan, en una línea paralela a la mitad del triángulo. Demostración Pappus Por último, se dibuja un segmento hacia abajo del mismo largo que el que sale por la punta del triángulo, se une con las líneas paralelas a la mitad, y "voilá", el área de ese cuadrilátero es igual a la suma de los dos pequeños. Demostración interactiva: http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/pitagoras4.htm
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