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Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

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by

Mabel Leiva

on 19 August 2014

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Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Formas de resolver sistemas de ecuaciones lineales
Métodos directos
Las técnicas directas de solución son técnicas que en teoría proporcionan una solución exacta al sistema en un número finito de pasos.
Ventajas y desventajas del método
Método de Gauss simple
El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones
Ax=b
en otro equivalente
Ux=c
que sea triangular superior para resolver por el método de sustitución regresiva.

Método de Gauss-Jordan
El método de Gauss-Jordan es una variación de la eliminación de Gauss. 
La principal diferencia consiste en que cuando una incógnita se elimina en el método de Gauss-Jordan, ésta es eliminada de todas las otras ecuaciones, no sólo de las subsecuentes. 
Además, todos los renglones se normalizan al dividirlos entre su elemento pivote. De esta forma el paso de eliminación genera una matriz identidad en vez de una triangular. 
No es necesario hacer la sustitución hacia atrás para obtener la solución.
Costo computacional del método de Gauss
El costo computacional en el método de eliminación de Gauss depende de la cantidad de operaciones con punto flotante que deban efectuarse para resolver un problema. En términos generales, el tiempo que tarda en realizar una multiplicación o división en una computadora es más o menos igual, y resulta mucho más largo que el que tarda en efectuar una suma o resta.
Métodos Directos
Método de eliminación de Gauss
Método de eliminación de Gauss-Jordan
Métodos Iterativos
Método iterativo de Gauss-Jacobi
Método iterativo de Gauss-Seidel
Introducción
El objetivo de este método es resolver
n
sistemas ecuaciones lineales con
n
incógnitas
En notación matricial, el sistema de ecuaciones lineales se denota por:
Ax=b
Algoritmo de sustitución regresiva
Ejemplo de aplicación de sustitución regresiva
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales:
Aplicando la sustitución regresiva:
Ventaja
Puede resolverse satisfactoriamente ecuaciones utilizando de 8 a 10 cifras significativas en las operaciones aritméticas en sistemas de hasta 20 ecuaciones.
Desventajas
División entre cero.
Durante el proceso en las fases de eliminación y sustitución es posible que ocurra una división entre cero. Se ha desarrollado una estrategia del pivoteo para evitar parcialmente estos problemas.
Errores de redondeo.
La computadora maneja las fracciones en forma decimal con cierto número limitado de cifras decimales, y al manejar fracciones que se transforman a decimales que nunca terminan, se introduce un error en la solución de la computadora.
Sistemas mal condicionados.
La obtención de la solución depende de la condición del sistema. En sentido matemático, los sistemas bien condicionados son aquellos en los que un cambio en uno o más coeficientes provoca un cambio similar en la solución. Los sistemas mal condicionados son aquellos en los que cambios pequeños en los coeficientes provocan cambios grandes en la solución.
Ejercicios
Ejercicios
Costo computacional
El método de Gauss-Jordan involucra aproximadamente 50% más operaciones que la eliminación de Gauss.
Ejemplo de sistema mal condicionado
Resuelva el siguiente sistema:
Después vuelve a resolver el sistema modificando el primer coeficiente de la segunda ecuación: 1.1 sustituye por 1.05
Eliminación de Gauss con pivoteo parcial
Observación: Consultar libros guía para hacer la triangulación superior.
Observación: consulte los libros guía para lograr transformar el sistema de ecuaciones en una matriz identidad para aplicar el método.
Multiplicaciones - divisiones
n
es la cantidad de incógnitas
Sumas - restas
n
es la cantidad de incógnitas
Con n grande, el número total de multiplicaciones y de divisiones es aproximadamente igual que el número total de sumas y restas.
Ejemplo
El método de eliminación de Gauss con pivoteo parcial consiste en seleccionar como pivote el coeficiente con mayor magnitud de la columna e intercambiar los renglones en caso necesario.
Ejercicio
Observación:
consultar libros guía para efectuar el pivoteo parcial.
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