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제논의 역설(아킬레스와 거북이의 달리기)

-
by

성우 배

on 12 January 2015

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Transcript of 제논의 역설(아킬레스와 거북이의 달리기)

Parodox
Zenon
?
의 역설
아킬레스와 거북이의 역설
화살의 역설
이분 역설
제논
화살이
날아가고 있다고 가정
할 때 시간이 지남에 따라 화살은 어느 점을 지날 것이다.
한 순간 동안
이라면
화살은 어떤 한 점에 머물러 있을 것
이고, 그 다음 순간에도 화살은
어느 점에 머물러 있을 것
이다. 화살은
항상 머물러 있으므로 사실은 움직이지 않는 것
이라는 이야기이다.
어떤 물체가
A지점
에서
B지점
으로 이동하기 위해서는


중간 지점인 C
를 통과해야 한다. 그리고 마찬가지로
A
에서
C
로 가려면


중간 지점인 D
를 통과해야 한다. 또
A
에서
D
로 가려면
그 중간 지점인 E
를 통과해야 하고... 이런 식의 사고를 계속하다 보면 A와 B사이의 거리가 아무리 짧다 해도,
A에서 B까지 가려면 무한히 많은 점을 통과
해야 하기 때문에
물체는 이동할 수 없다
는 이야기이다.
제논
?
"존재자는 하나뿐이야!"
다원론을 주장하는 반대자들의 전제를 바탕으로한 역설
날아가는
화살

움직이지 않는다.
아킬레스
일지라도,
먼저 출발한
거북이
를 앞지를 수가 없다.
이탈리아의 엘레아에서 출생. 제논은 40가지의 역설을 밝혔는데 그 중 일부만이 지금까지 전해진다.
사람은
경기장
을 건널 수 없다.
반분의
시간
은 그 배의
시간
과 같다.
제논

4

역설
어가기에 앞서서...
제논은 누구인가요?
역설
?

어떤 순서로 진행되나요?
역설이란 무엇인가요?
일상생활 속에서 막연한 상식을 뛰어넘어
논리적으로 모순되는 일
명백히 거짓인 것처럼 보이지만
사실 참인 주장
논리적으로는 전혀 오류가 없어 보이지만,
결국 논리적 모순을 낳는 주장
참인지 거짓인지
판단할 수 없는 주장
명백히 참인것 처럼 보이지만
실은 거짓인 주장
제논의
역설
들어가기에
앞서...
또다른 역설과 역설의 의의
화살의 역설
이분역설
역설의 의의
목차
제논은
누구인가요?
역설은
무엇인가요?
제논의 주장
제논의 주장의
한계
제논의 주장의
해법
거북이가 먼저 출발하면
아킬레스는 거북이를
따라 잡을 수 없다
?
아킬레스

속력

거북이

속력

2배
이다.
다시
거북이
가 있던
지점

아킬레스
가 도달했을 때,
거북이
는 또 앞으로 조금 나아가서 그
자리
에 없다.
아킬레스

10m
앞에 있는
거북이
를 잡으려고 한다.
아킬레스

거북이

경주
를 한다.
그런데
아킬레스

거북이
가 있던
지점
까지 가는 동안
거북이

5m
를 나아간다.
거북이

아킬레스
보다
10m
앞에서
출발
한다.
제논

주장
제논

주장

한계
물체의 이동은 속도에 의해 표현되지만
제논은
물체가 움직인 거리만 생각
시간은 고려하지 않음
물체가 이동하는 데 걸린
제논

주장

해법
속력을 이용해 구하는 방법
거북이의 속력 = V
아킬레스의 속력=2V
거북이가 이동한 거리 + 10m =
아킬레스가 이동한 거리
Vt + 10m=2Vt
Vt = 10m
아킬레스가 20m 만 가면 거북이를 따라잡는다.
그래프를 이용해 구하는 방법
시간의 무한등비급수
아킬레스가 거북이를 n번째 따라잡는데 걸린 시간을 a 이라 하고
n
a = 0.5
거북이의 속력을 10 m/s,
아킬레스의 속력을 20 m/s 라 하자.
a = 0.25
a = 0.125
a = (0.5)
n
1
2
3
n
S = = 1
n
lim
n→∞
1-0.5
0.5

아킬레스는 거북이를 추월한다.
1초 후면
거리의 무한등비급수
아킬레스가 거북이를 n번째 따라잡는데 달린 거리를 a 이라 하자.
n
a = 10
a = 5
a = 2.5
a =10(0.5)
1
2
3
n
n
S = = 20
n
lim
n→∞
1-0.5
10
아킬레스가 20m 만 가면 거북이를 따라잡는다.

사합니다.

역설
의의
수학의 논리체계에 실재하는
근본적인 약점들
이 이 역설들에 의해 극명하게 드러남으로써 그 역설들을 해결하는 것이 수학자들에게
중대한 과제
가 되곤 했다. 따라서 역설은 궤변이기 때문에 배척할것이 아니라,
왜 옳지 않은지를 따지고 검토하는 과정에서 결실을 맺는 보물
일 수도 있다. 실제로, 제논의 역설을 극복하려는 과정에서
무한을 제대로 이해하는 한걸음
을 내디뎟다가 마침내
미적분의 발견
까지 이르렀다.
아킬레스와
거북이의 역설
제논의 또다른 역설에는 무엇이 있을까
이런 역설의 의의는 무엇일까
?
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