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5.2 Tranformaciones Lineales

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on 29 November 2013

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5.2 Transformaciones Lineales
(Reflexión, Expansión, Contracción y Rotación)

Reflexión
Expansión
Rotación
:
FIN
Definición
Conjunto de puntos dados creando una figura, es gráficado desde el espacio vectorial a otro de manera tal que este es isométrico al espacio vectorial.


La reflexión es realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es como producir la imagen espejo de la matriz actual.
El proceso de reflexión:
• Trasladar el punto establecido del plano al origen de coordenadas
• Realizar los giros oportunos para hacer coincidir el vector normal al plano de reflexión con uno de los ejes de coordenadas; así el problema se reduce a una simple reflexión sobre alguno de los planos del sistema de referencia.

Definición
Una dilatación es una transformación
que incrementa distancias por un factor k
Ejemplo
Contracción
Definición
Son la inversa de las transformaciones por expansión o dilatación,
Existen dos tipos de Transformaciones por Contracción
• Cuando la comprensión es horizontal o en el eje x
• Por lo contrario cuando la comprensión es vertical o en el eje y
0 < c < 1
Ejemplo
Compare la gráfica de f(x)=|x| con g(x)=1/3 |x|
Podemos observar que hubo una contracción vertical o del eje y, donde cada valor que se le asignara a y esta multiplicado por 1/3

Ejemplo
Compare la gráfica de f(x)=2-x^3 con g(x)= f(2x)
Aquí podemos ver que es una contracción horizontal o del eje x, el cual se resolvió de la siguiente manera g(x)=f(2x)=2-(2x)^3=2-8x^3.
Equipo 2
Estrada Palma Karla
Etcharren Alonso Ibán
Jacinto Carmona Elia
Rodríguez Hernández Arturo
c > 1
Los sistemas ópticos se pueden decir que son transformaciones lineales al aumentar o disminuir el tamaño de una imagen
Ejemplo.
Se tiene una imagen que tiene como función f(x)=x^2 se desea comprimir 4 veces su tamaño.
Lo primero que se debe hacer es formar la función g(x) que en este caso quedaría de la siguiente manera g(x)=f(4x).
Después la resolvemos y obtenemos: f(x)=(4x)^2=16x^2

Como podemos observar la imagen se contrajo horizontalmente, es decir hubo una distorsión en el eje de las x
Definición
Permite girar un objeto sobre un eje, indicándole el valor del ángulo de rotación teta y su dirección.
Rotaciones R2
Son aquellas que se llevan a cabo alrededor del origen, para generar una rotación, se especifica el ángulo θ (grados o radianes) y el punto de rotación sobre el cual el objeto será rotado.

Rotaciones R2
Son aquellas que se llevan a cabo alrededor del origen, para generar una rotación, se especifica el ángulo de teta (grados o radianes) y el punto de rotación sobre el cual el objeto será rotado.

Los ángulos de rotación positivos giran en sentido contrario de las manecillas del reloj y los ángulos negativos tienen una rotación en sentido de las manecillas
El V= [x,y] en el plano se rota un ángulo, este es un nuevo vector rotado V´= [(x',y' )] si r es la longitud o distancia de V.
Entonces para los otros ejes su rotación es sobre su mismo eje
Aplicación de transformación lineal en la vida diaria
Es conservan la forma y las medidas de las figuras u objetos, como por ejemplo las simetrías y las rotaciones

Una compañía posee dos minas: la mina 1 produce 1 tonelada de cobre de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina 2 produce plata, 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad

Ejemplo:
Calcular la transformación lineal de rotación T: R2 --> R2 del v= (1,1), con un ángulo de rotación π/2
Solución

Aplicaciones de las transformaciones lineales
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