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Copy of Historia de La Matematica I

Historia A Travez del paso de los años mediante aquellas culturas innovadoras y creativas
by

daniela casquero

on 5 November 2013

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Transcript of Copy of Historia de La Matematica I

Se denomina así,a cualquier forma de geometría cuyos postulados y propiedades difieren en algún punto de los establecidos por Euclides en su tratado Elementos

Matemática del siglo XIX

¡Un camino por recorrer!

(cc) photo by theaucitron on Flickr
La teoría de grupos estudia estas estructuras conocidas como GRUPOS.
Estos sirven como
pilar a otras estructuras
como: anillos, cuerpos, espacios vectoriales.
Teoría de grupos
Para finales del siglo XIX, el álgebra se orientó al estudio de las estructuras algebraicas.
La Teoría de grupos tiene varias aplicaciones:
en física
en química
en astrofísica
solución de acertijos
en códigos binarios
en criptografía
otros...
El orden de un grupo es su cardinalidad; en base a él, los grupos pueden clasificarse en grupos de orden finito o de orden infinito. La clasificación de los grupos simples de orden finito es uno de los mayores logros matemáticos del siglo XX
La geometría hiperbólica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa
Hiperbólica, euclidiana, elíptica
Pueden distinguirse tres tipos de geometrías
Representantes de esta geometría:
Karl Gauss
Nikolai Lobachevsky
Farkas Bolyai
George Riemann
La geometría euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero.
La geometría
elíptica
satisface sólo los
cuatro primeros
postulados de Euclides
y tiene curvatura
positiva.
rama de la matemática que estudia las propiedades
de incidencia de las figuras geométricas, pero abstrayéndose totalmente del concepto de medida
Gérard Desargues es el iniciador de la geometría proyectiva, pues fundamentó matemáticamente los métodos de la perspectiva que habían desarrollado los artistas del Renacimiento
Desde el punto de vista sintético, la geometría proyectiva es una geometría que parte de los siguientes principios:
La geometría proyectiva también equivale a la proyección sobre un plano de un subconjunto del espacio en la geometría euclidiana tridimensional. Las rectas que salen del ojo del observador se proyectan sobre puntos. Los planos definidos por cada par de ellas se proyectan sobre rectas.
La geometría proyectiva puede entenderse, informalmente, como la geometría que se obtiene cuando nos colocamos en un punto, mirando desde ese punto. Esto es, cualquier línea que incide en nuestro "ojo" nos parece ser sólo un punto, en el Plano proyectivo, ya que el ojo no puede "ver" los puntos que hay detrás. Costumbres: Su Sistema Era Deductivo
Dos puntos definen una recta.
Todo par de rectas se cortan en un punto (cuando dos rectas son paralelas decimos que se cortan en un punto del infinito conocido como punto impropio).
(cc) photo by theaucitron on Flickr
Topología
Rama de las matemáticas dedicada al estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas.
de manera formal se refieren a una cierta familia de subconjuntos de un conjunto dado, familia que cumple unas reglas sobre la unión y la intersección
se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo de consistencia
(o textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar, entre otros múltiples atributos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad o metrizabilidad, etcétera.
Nociones básicas:
Se trata de dar una definición formal de lo que es una geometría, más allá de la idea más o menos intuitiva que tenemos de ella.
¿Qué es entonces la geometría?

La operación debe
ser asociativa
debe existir
elemento neutro
debe tener
elemento simétrico
(cc) photo by theaucitron on Flickr
Klein da respuesta a esta pregunta introduciendo en la Geometría un nuevo concepto de carácter algebraico: el concepto de grupo.
Para que un conjunto en el que haya una operación sea un grupo deben de cumplirse ciertas condiciones, que son:
Descubre un hecho fundamental que lo relaciona con las distintas geometrías: cada geometría es el estudio de ciertas propiedades que no cambian cuando se le aplican un tipo de transformaciones. Esas propiedades, por no cambiar, las denomina invariantes, y las transformaciones que a un invariante no le hacen cambiar han de tener estructura de grupo bajo la operación de composición
A fines del siglo XIX, Frobenius definió grupo abstracto con un sistema de axiomas.
Un grupo es un conjunto G en el que se ha definido una operación binaria interna, que satisface los siguientes axiomas:
Asociatividad
Elemento neutro
Elemento simétrico
un grupo está formado por un conjunto de elementos abstractos o símbolos, y por una ley de composición interna (operación binaria) que los relaciona. Dicha ley de composición interna indica cómo deben ser manipulados los elementos del grupo.
Se dice que un
grupo es abeliano o conmutativo cuando verifica además la propiedad conmutativa
Las geometrías
no euclidianas
Los desarrollos de geometrías no euclídeas se gestaron en sus comienzos con el objetivo de construir modelos explícitos en los que no se cumpliera el quinto postulado de Euclides.
Geometría
proyectiva
disciplina que estudia las propiedades de los espacios topológicos y las funciones continuas
Tomamos un conjunto de referencia X, que será el ambiente en el que nos moveremos, y al que llamaremos espacio. Tomaremos un elemento cualquiera x de X. A los elementos del espacio se les llama puntos, así que x será llamado punto.
Un subconjunto V de X será un entorno de x si x es elemento de V y existe un conjunto abierto G de manera que G esté incluido en V.
una colección T de subconjuntos de X se dirá que es una topología sobre X si X es uno de los elementos de esa colección, si conjunto vacío es un elemento de la colección, si la unión de elementos de la colección da como resultado un elemento de la colección y si la intersección finita de elementos de la colección también es un elemento de la colección. A los elementos de la colección T se les denomina abiertos de la topología T, y al par (X,T) se le denomina espacio topológico.
Las condiciones para que T sea topología sobre X son entonces estas:
Programa de Erlangen:
programa de investigación publicado por Felix Klein en 1872.
Los invariantes
En matemáticas, invariante es algo
que no cambia al
aplicarle un conjunto
de transformaciones
Más formalmente una entidad se considera invariante bajo un conjunto de transformaciones si la imagen transformada de la entidad es indistinguible de la entidad original.
La propiedad de ser invariante se conoce como invarianza o invariancia
Ejemplos
la distancia entre dos
puntos en una recta, ésta no
cambia al sumar una misma cantidad a ambos puntos; es decir es invariante bajo la suma, pero si los multiplicamos por una misma cantidad (excepto el 1) cambia la distancia; entonces no es invariante en la multiplicación.
La simetría también puede ser considerada una forma de invarianza

invariantes

algebraicos que aparecen en álgebra lineal, cálculo tensorial y topología.
Cálculo Vectorial
Cálculo tensorial
campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Es un enfoque de la geometría diferencial como conjunto de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física
Consideramos los campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio, y campos escalares, que asocian un escalar a cada punto en el espacio
Ejemplo:
la temperatura de una piscina es un campo escalar: a cada punto asociamos un valor escalar de temperatura. El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un vector de velocidad.
Operaciones importantes:
Gradiente: mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial.
Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto; el rotor de un campo vectorial es otro campo vectorial.
Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse o converger hacia ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar.
Laplaciano: relaciona el "promedio" de una propiedad en un punto del espacio con otra magnitud, es un operador diferencial de segundo orden.
Conceptos básicos de vectores.
En matemáticas y en física, un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes, que generaliza los conceptos de escalar, vector y matriz de una manera que sea independiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
El primero en utilizar esta palabra fue William Rowan Hamilton en 1846
La palabra tensor proviene del latín tensus, participio pasado de tendere 'estirar, extender'.

El nombre se extendió porque la teoría de la elasticidad fue una de las primeras aplicaciones físicas donde se usaron tensores
la noción tensorial es absolutamente
general. Los escalares y los vectores
son casos particulares de tensores.
La propiedad que distingue un escalar
de un vector, y distingue ambos de una
cantidad tensorial más general es el
número de índices en la matriz de la representación. Este número se llama
rango de un tensor. Así, los escalares
son los tensores de rango cero
(sin índices), y los vectores son
los tensores de rango uno.
Ejemplos
descripción de una fuerza aplicada al movimiento de una nave en el agua. La fuerza es un vector, y la nave responderá con una aceleración, que es también un vector. La aceleración en general no estará en la misma dirección que la fuerza, debido a la forma particular del cuerpo de la nave. Sin embargo, resulta que la relación entre la fuerza y la aceleración es lineal.
En la ingeniería, las tensiones en el interior de un sólido rígido o líquido también son descritas por un tensor
ejemplos bien conocidos de tensores en geometría son las formas cuadráticas, y el tensor de curvatura. Algunos ejemplos de tensores físicos son el tensor de energía-momento, el tensor de polarización y el tensor dieléctrico.
Dos enfoques
visualiza los tensores como "matrices" de orden superior que son generalizaciones n-dimensionales de los escalares, vectores de 1 dimensión y matrices de 2 dimensiones. En este enfoque los números reales que aparecen en dichas "matrices" son las componentes del tensor en una base concreta
Clásico
Moderno
visualiza los tensores inicialmente como objetos abstractos, construidos sobre espacios vectoriales abstractos, en los que se define un producto tensorial que permite construir estructuras típicas del álgebra multilineal.
Definición de tensor
Hay varias maneras de definir un tensor, que resultan en enfoques equivalentes:
Manera clásica
forma usual en física de definir los tensores, en términos de objetos cuyos componentes se transforman bajo cambios de coordenadas según ciertas reglas, introduciendo la idea de transformaciones covariantes o contravariantes.
Manera usual
implica definir ciertos espacios vectoriales definidos a partir de un espacio vectorial dado, sin fijar cualesquiera conjuntos de coordenadas hasta que las bases se introduzcan por necesidad. Existen dos definiciones de este tipo:
La de tensores como aplicaciones multilineales, que nos obliga a usar el dual de un espacio vectorial.
La que usa una operación definida axiomáticamente llamada producto tensorial de espacios vectoriales.
Función analítica
Una función
f(z) es
analítica (u holomorfa) en un
abierto A
si posee derivada en todo punto de A
Cuando se dice que una función
f es analítica en un conjunto S que no es
abierto, quedará sobrentendido que
f es analítica en algún abierto que contiene a S.
Cuando decimos que una función es analítica
en un punto z0 , la derivada debe existir
en todos los puntos de algún entorno de z0 .
puede expresarse como una serie de potencias convergente. Una función analítica es suave: tiene infinitas derivadas. La noción de función analítica puede definirse para funciones reales o complejas, aunque ambos conjuntos tienen propiedades distintas. Las funciones complejas derivables en un abierto siempre son analíticas, y se denominan funciones holomorfas. Sin embargo, una función real infinitamente derivable no es necesariamente analítica.
Número transfinito
es el término original que el matemático alemán Georg Cantor introdujo para referirse a los ordinales infinitos, esto es, mayor que cualquier número natural o finito, para diferenciarlos del infinito real o absoluto
Aritmética de cardinales transfinitos

Para los números transfinitos se pueden extender sin ambigüedad la suma, la multiplicación y la potenciación. Sean por ejemplo dos conjuntos disjuntos

la suma y la multiplicación puede construirse a partir del cardinal de la unión y del producto cartesiano de estos dos conjuntos
Cantor encontró que era posible “medir” el tamaño de un conjunto infinito y, de hecho, comparar el tamaño de dos conjuntos infinitos para encontrar que el de uno era “mayor” que el del otro, y elaboró una teoría hasta cierto punto rigurosa respecto de estas ideas: la teoría de números transfinitos.
Lógica simbólica
sistema formal que analiza los signos y lo que designan.
usa una notación matemática para establecer lo que designan los signos, y lo hace de forma más precisa y clara que la lengua, también constituye un metalenguaje (lenguaje técnico formal) que se emplea para hablar de la lengua como si de otro objeto se tratara:
El filósofo alemán Rudolf Carnap, realizó su más importante contribución a la semántica filosófica cuando desarrolló la lógica simbólica


La lógica se define como la ciencia del razonamiento, o como el estudio de los métodos y principios usados para distinguir el razonamiento correcto del incorrecto. Por su parte, la lógica simbólica es el estudio de la lógica mediante la matemática, es decir, que incorpora la exactitud y rigor matemáticos.
Fin
Alumna
Casquero, Daniela
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