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vectores en r2 y r3, dirección, magnitud y cosenos directore

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Transcript of vectores en r2 y r3, dirección, magnitud y cosenos directore

vectores en r2 r3, dirección, magnitudes, y cosenos directos.

vectores r2 r3
QUE ES UN VECTOR?
En R2 es un de par ordenado de números reales.
v=(a,b)

En R3 es una triada ordenada de números reales.
v=(a,b,c)
Cosenos directores
Clases de vectores
vectores en r2 r3, dirección, magnitud y cosenos directores
ELEMENTOS DE UN VECTOR:
Dirección de un vector:





Sentido de un vector:
Módulo de un vector:
Coordenadas de un vector:
Dirección de un vector:
La direcccion del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.
El sentido del vector vector es el que va desde el origen A al extremo B.
Sentido de un vector:
Módulo de un vector:
El módulo del vector vector es la longitud del segmento AB, se representa por módulo.

El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero.
Coordenadas de un vector:
Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son: A (x1, y1) B (x2 , y2)

Las coordenadas del vector AB son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.
AB=(x2-x1 , y2-y)

A=(2,2 ) B=(5,7)

AB=(5-2 , 7-2)

AB= (3,5)




Vectores equipolentes:
Vectores fijos:
Vectores ligados:
Vectores opuestos:
Vectores unitarios:
Vectores concurrentes:
Vectores de posición:
Vectores linealmente dependientes:
Vectores linealmente independientes:
Vectores ortogonales:
Vectores ortonormales:
Que es un vector?

Recordemos que un vector se define como un segmento dirigido, lo que significa que, al ser un segmento se puede medir, y al ser dirigido tiene dirección y sentido.
Se llaman Cosenos directores del vector Å a los cosenos de los ángulos que forman cada uno de los ejes coordenados.
En un plano tridimensional se representan:

Se identifican 3 ángulos en la imagen (Alpha , Beta , Gamma ) Y sus formulas para saber el tamaño del ángulo son:
Coseno de Alpha = Vector Ax / Modulo del vector |A|
Coseno de Beta = Vector Ay / Modulo del vector |A|
Coseno de Gamma = Vector Az / Modulo del vector |A|
Para saber el modulo del vector A se usa la formula:
Vectores en R3
Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y.
Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z).
Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el primer octante las tres coordenadas son positivas.
VECTOR EN EL ESPACIO
Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.
COMPONENTES DE UN VECTOR EN EL ESPACIO
Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.
Vectores en R2
Los vectores en R2 son aquellos que están ubicados en un plano cartesiano de ejes X e Y.
Un vector es aquel que tiene un inicio (X0; Y0) y un fin (X1; Y1), lo cual, que determina su sentido en el plano.
Un vector fijo AB es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).
Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden.

VECTORES EQUIPOLENTES

Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.
VECTOR LIBRE
El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Cada vector fijo es un representante del vector libre.
VECTOR DE POSICIÓN DE UN PUNTO EN EL PLANO DE COORDENADAS
El vector AB que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posición del punto P.
COORDENADAS DE UN VECTOR EN EL PLANO
Si las coordenadas de A y B son:
Las coordenadas o componentes del vector AB son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.
MÓDULO DE UN VECTOR

Si las coordenadas de A y B son:
Las coordenadas o componentes del vector AB son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen
Si tenemos las componentes de un vector:
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.
VECTOR UNITARIO
Los vectores unitarios tienen de módulo la unidad.
SUMA DE VECTORES
Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.
REGLA DEL PARALELOGRAMO
Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.
RESTA DE VECTORES
Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto de Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR
El producto de un número k por un vector es otro vector:
De igual dirección que el vector
Del mismo sentido que el vector si k es positivo.
De sentido contrario del vector si k es negativo.
De módulo

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.
COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de los extremos.
CONDICIÓN PARA QUE TRES PUNTOS ESTÉN ALINEADOS
Los puntos A (x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) están alineados siempre que los vectores tengan la misma dirección. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales.

ejemplo de el trabajo realizado.
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