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Tesi: "I fondamenti della matematica".

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Alfredo Marchetti

on 6 July 2016

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Transcript of Tesi: "I fondamenti della matematica".

I FONDAMENTI DELLA MATEMATICA
La logica aristotelica
I presupposti:
1) Il principio di identità;
2) il principio di non-contraddizione;
3) Il principio del terzo escluso.
LA GEOMETRIA EUCLIDEA
Il
more geometrico
è garante di verità e di universalità.
La natura intuitiva degli
assiomi
rende la geometria una teoria solida e inattaccabile.
L'INTUIZIONE PURA E A PRIORI DI SPAZIO E TEMPO
Lo spazio non è affatto un concetto discorsivo – o, come si dice, universale – dei rapporti delle cose in generale, ma un’intuizione pura.
In primo luogo, infatti, non ci si può rappresentare che un unico spazio, e se si parla di molti spazi, non s’intendono con ciò che le parti di uno spazio unico e medesimo.
Queste parti non possono precedere lo spazio unico e onnicomprensivo, quasi ne fossero gli elementi costitutivi (dalla cui riunione possa nascere l’insieme), ma sono pensate solo in esso. Lo spazio è unico per essenza ed il molteplice che in esso si trova, e quindi anche il concetto universale di spazio in generale, non poggiano che su limitazioni.
Ne segue che, rispetto allo spazio e a fondamento di tutti i suoi concetti, sta un’intuizione a priori (non empirica). Egualmente, anche tutti principi geometrici, ad esempio che in un triangolo la somma dei due lati è maggiore del terzo, non sono mai derivati dai concetti universali di linea e di triangolo, ma dall’intuizione e, senz’altro, a priori con certezza apodittica. […]
Dunque la rappresentazione originaria dello spazio è intuizione a priori e non concetto”.

(Kant, Critica della ragion pura, UTET, 1967)
LE NUOVE GEOMETRIE NON-EUCLIDEE
Il "Newton" di Blake:
la critica al razionalismo
...Tutte le domande autentiche sono suscettibili di risposta
(Per illuministi e tradizione occidentale)
[...]

Noi non possiamo conoscere la risposta ma qualcun altro la conoscerà [...]
Si tratta in effetti della colonna vertebrale della tradizione occidentale, ed è essa che il Romanticismo demolì.
(Isaiah Berlin "Le radici del romanticismo")

W. Blake
L'ARITMETICA DI G. PEANO;
La critica di B. Russell
Gli assiomi di Peano sono presentati brevemente a pag.17 dell'approfondimento.
Cantor, Frege:
La logica moderna
Il principio di estensionalità
Il principio di comprensionalità
Il concetto di numero
L'antinomia di Russell:
Affinità col paradosso del mentitore
La sua scoperta della contraddizione mi ha sorpreso al massimo e, quasi vorrei dire, mi ha costernato, perché con essa vacilla la base sulla quale pensavo si fondasse l’aritmetica.
L'antinomia di Russell, presentata in confutazione a quella che è la definizione freghiana, ha lo schema tipico del paradosso autoreferenziale, come quello scoperto dai Greci.
I TEOREMI LIMITATIVI DI TARSKI E Gödel
E’ impossibile determinare la verità aritmetica a partire (dall’interno) da un sistema aritmetico.
A. Tarski
Ogni teoria (sufficientemente potente) è sintatticamente incompleta.
K. Gödel
Ogni Teoria sufficientemente potente non può valutare la propria coerenza.
K. Gödel
A cura di Alfredo Marchetti
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