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Cálculo de Volúmenes de sólidos en revolución, método de arandelas

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by

Aidee Garcia

on 29 July 2014

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Transcript of Cálculo de Volúmenes de sólidos en revolución, método de arandelas

Cálculo de Volúmenes:
Método de Arandelas

¿En que consiste?


Arandelas
• Superficie plana gira alrededor de un eje situado en el mismo plano.
• Formación de solido con un hueco
• Figuras irregulares
Conclusiones
Se logró cumplir todos los objetivos planteados al principio del proyecto.
Se comprendió que las integrales tienen muchas aplicaciones.

El método de Arandelas es una variación del método de discos, desarrollando el cálculo de dos discos a partir de f (x) y g (x) y restando el área del disco menor al disco mayor.
Objetivos
Dar a conocer la aplicación que tienen las integrales sobre el cálculo del volumen de sólidos.
Comprender el método de arandelas y sus funciones.
Explicar de manera clara dicho método para un mejor entendimiento.
Marco conceptual
VOLUMEN:

Es el espacio que ocupan los cuerpos. Es una magnitud física derivada. Se miden con metros cúbicos.

VOLUMEN DE UN SÓLIDO:
Sea S un sólido que se encuentra entre x=a y x=b. Si el área de la sección transversal de S en el plano P, que pasa por x y es perpendicular al eje x es A(x), donde A es una función continua, entonces el volumen de S es:




SÓLIDO:
Objeto material de tres dimensiones.

SÓLIDO DE REVOLUCIÓN:

Solido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse.

Marco Teórico
Durante el siglo anterior se desarrollaron técnicas para calcular áreas y volúmenes.

Kepler fue uno de los matemáticos que contribuyeron a estos desarrollos. Estudió cómo calcular áreas y volúmenes de diferentes cuerpos, especialmente de cuerpos de revolución.

Actualmente se usa el cálculo integral para resolver este tipo de problemas.
Introducción
En esta presentación se explica cómo se calcula el volumen de un sólido de revolución por el método de las arandelas o anillos.

Se menciona su origen, aplicaciones y algunos ejercicios de muestra para un mejor entendimiento.
Instituto Tecnológico
de Morelia
María de los Ángeles Díaz Benítez
Yatziri Hinojosa Revollar
Aideé Itandehui García Zintzún
Jessica Nyx Castillo
Fátima Jennifer Oseguera
Diana Elena Gómez Sánchez

Salvador Aburto Bedolla
Cálculo Integral
Después de algunos años se publicó un libro en Italia, “Geometría indivisible” de Cavalieri (1635).

Aquí aparece el Teorema o Principio de Cavalieri.
El método de Kepler consiste en diseccionar un sólido en un número infinito de piezas de una forma y tamaño conveniente. Y al final suma el total de secciones para obtener el volumen total.

Los elementos infinitesimales de Kepler tienen las mismas dimensiones que el cuerpo que quiere medir.


"Si dos sólidos tienen alturas iguales y si las secciones hechas por planos paralelos a las bases y a la misma distancia están siempre en la misma proporción, entonces los volúmenes de los sólidos están también en la misma proporción".
Y=x , Y= x^2
r1
= Radio exterior
r2
= Radio interior
Obtén el volumen generado por las curvas
y=x^2
&
y=x^(1/2)
, al girar en torno al
eje y
.
Aplicaciones
Al introducir la integración vimos que el área es solamente una de las muchas aplicaciones de la integral definida. Otra aplicación importante la tenemos en su uso para calcular volúmenes de un sólido tridimensional.

Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
Principio de Cavalieri:
Obtén el volumen generado por las curvas
y=x^2
&
y=x^(1/2)
, al girar en torno al
eje x
.
Y tendrás un dulce~
EJEMPLO:
Hallar el volumen de solido que resulta de girar alrededor del eje X, la región limitada por la curva γ=√x y las rectas γ=0 y x=4
Bibliografía
• Http://www.matematicasvisuales.com/html/historia/kepler/keplerbarril.html 26-julio-14
• Earl Swokowski. Calculo con geometria analitica. 2º edicion
• Daltabuit/cardenas. Calculo. 1º edicion.
• Granville, Wiliam Anthony. Cálculo Diferencial e Integral= Elements of differential and integral calculus, Wiliam Anthony Granville.--- México: Limusa, 2010. 704 p.
• Purcell, Edwin J., Cálculo, Octava edición, Pearson educación, México, 2001, 880 pg.
• James Stewart, Cálculo diferencial e Integral, Segunda edición, Thomson, México, 2005, 700 pg.
• James Stewart. Cálculus Concepts and Contexts, Brooks Cole Publishing, 1998, 700 pg.
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