Aplicaciones de la Integral en el Cálculo del Trabajo Mecánico

"Aplicaciones de la Integral en el Cálculo del Trabajo Mecánico"
Facultad de Ciencias Quimicas e Ingeniería

Ingeniería Mecánica
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Larson R. y otros. Cálculo y Geometría Analítica. Volumen 1. 6ta Edición
Al resolver este problema se observa una de las diversas aplicaciones del calculo integral, en este caso para la obtención del trabajo mecánico cuando las fuerzas son variables y no constantes, demostrando así la gran utilidad de esta herramienta para la ciencia y la ingeniería.
Se desea obtener el trabajo necesario para elevar una cadena usando una grúa donde en la parte inferior se encuentra atado un tanque lleno de agua, el cual tiene un escape.
Este ejercicio considera una fuerza variable que depende de 3 elementos y es necesario utilizar la ecuación de una recta para encontrar la fuerza en términos de la altura.

Si un objeto es desplazado por una fuerza F constante, a una dirección D en la dirección de la fuerza, el trabajo realizado por la fuerza se define como:
Asignatura: Cálculo Integral
Alumno: Acosta García Ramsés
25 m
12/05/2014
CONTENIDO:
1. Introducción
1.1 El concepto de trabajo mecánico
1.2 Definición de Trabajo Mecánico
1.3 Uso de la Integral en el cálculo del trabajo
2. Problema Planteado
3. Resultados
4. Conclusión
5.Referencias Bibliográficas
1.
INTRODUCCIÓN
1.1
El concepto de Trabajo Mecánico
El concepto de trabajo mecánico sirve a los científicos e ingenieros para conocer cuanta energía es necesaria en la ejecución de cierta tarea.
Por ejemplo, es útil saber el trabajo realizado cuando una grúa eleva una viga de hierro, al comprimir un muelle, al lanzar un cohete o cuando un camion transporta una carga.
Se realiza trabajo cuando una fuerza desplaza un objeto. Si la fuerza aplicada al objeto es constante, tenemos la definición de trabajo.
1.2
Definición de Trabajo
W= F D
Joule=Newton Metro
Hay muchas clases de fuerzas, centrífuga, electromagnética, gravitatoria, entre otras.
Pero qué pasa si la fuerza no es constante sino variable Recurrimos al Cálculo Integral
1.3
Uso de la integral en el cálculo del trabajo
Supongamos que un objeto se mueve en línea recta desde x=a hasta x=b bajo la acción de una fuerza F(X) que varía de manera continua. Sea una partición de (a , b) en n sub-intervalos determinados por:
a= X < X < X <........< X = b
0
1
2
n
y sea
X = X - X -1
i
i
i
El trabajo realizado se define como:
∫ f(x) dx
Fuerza
Distancia
2.
Problema Planteado
La longitud de la cadena es 25 metros y la densidad lineal de la cadena es de 5kg/m
El peso del tanque es de 100 Newtons y su volúmen es de 2 metros cúbicos
La velocidad de ascenso de la cadena es 1 m/s y la razón de salida de agua del tanque es de 4 l/s
Conclusiones
4.
5.

Bibliografía
3. Resultados
25 m
Peso= 100 N
Volumen= 2m
3
Densidad cadena= Pc= 5kg/m
Velocidad= 1 m/s
Escape Agua= 4 l/s
Granville, William Anthony . Cálculo Diferencial Integral. México: Limusa 2009. 704 p. ISBN-13: 978-968-18-1178-5
Recordando la fórmula del trabajo
∫ f(x) dx
a
b
Donde f(x) es una fuerza que va en sentido de el movimiento y x es la variable que representa la distancia
Tomando h como variable (altura) el trabajo sería
∫ f(h) dh
25
0

W=
Debemos entonces encontrar f(h) considerando que no interviene una sola fuerza sino 3, los pesos de el tanque, que es constante, y el de la cadena y el agua que son variables.
Peso del Tanque:
P = 100 N
t
Peso de la cadena
Para h= 0 m
Pc= 25m x 5kg/m x 9.8 m/s
2
masa
= 1225 N
Para h=25 el peso es 0
h
P
1225
25
0
Si conocemos la ecuacion de esta recta podremos saber el peso de la cadena para cualquier altura
Ecuacion de la recta
x + y =1
Peso del Agua
a
b
h + P = 1
25
1225
P= 1 - h
1225
25
P= 1225 - 1225h
25
P = 1225-49 h
cadena
El tiempo en recorrer los 25 m a 1m/s serán 25 seg
La razón de escape es de 4 l/ss
La pérdida de agua será entonces
V = 4 l/s x 25 s = 100 lt.
PH2O
Ahora obtenemos el peso inicial y final del agua
Para h= 0 m
P= 2m x 1000kg/m x 9.8 m/s
3
3
2
P = 19600 N
Para h= 25m
P= 19600 - (.1 m ) (1000 kg/m ) ( 9.8 m/s )
3
3
2
P = 18620
i
f
h
P
0
19600
25
18620
Para encontrar la ecuación usamos la ecuación de la recta dados 2 puntos
y - y = y - y ( x- x )
1
2
1
x - x
2
1
1
Sustituyendo:
P - P = P - P ( h - h )
h - h
1
1
1
1
2
2
P - 19600 = 18620 -19600 ( h - 0)
25 - 0
P = - 39.2 h + 19600
Habiendo obtenido las 3 fuerzas que necesitamos, procedemos a sumarlos para obtener el peso total del sistema.
P = 100 + 1225 - 49h - 39.2 h + 19600
total
P = 20925 - 88.2 h
P = 100 N
P = 1225 -49h
P = -39.2h + 19600
tanque
cadena
agua
Finalmente sustuimos en la fórmula del trabajo:
∫ (20925 - 88.2 h) dh
W =
0
25
W = 20925 h - 88.2 h
2
2
0
25
Evaluamos el límite superior
W= 20925 (25) - 88.2 ( 25 )
2
2
W= 495562.5 Joules
Así obtenemos la respuesta al problema planteado