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Proposiciones: implicaciones, proposición recíproca , invers

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by

Jonathan David Ochoa Peña

on 19 October 2015

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Transcript of Proposiciones: implicaciones, proposición recíproca , invers

Proposición

En Matemáticas una proposición simple es una afirmación la cual puede ser verdadera (tautología) o falsa (contradicción). Ahora cuando se relacionan dos proposiciones simples por medio de conectivos lógicos ( "entonces" o "si y solo si") se forman proposiciones compuestas .
Recíproca, inversa y contrarrecíproca
Partiendo de una proposición "si ..., entonces,...", es posible formar tres nuevas proposiciones: su
recíproca, su inversa y su contrarrecíproca.
La recípoca
se obtiene al invertir el orden de la hipótesis y la conclusión.
Implicaciones
Una proposición "si ..., entonces..." es una implicación, si la hipótesis es una
condición suficiente
para concluir la tesis.
Proposiciones: implicaciones, proposición recíproca , inversa y contrarrecíproca
Ejemplos:
1) n es un número par (proposición simple)

2) Si una figura es un cuadrilátero,
si y solo si
tiene 4 lados (proposición compuesta)

3) si estudio con aplicación
entonces
aprenderé
(proposición compuesta)

4) un número es divisible por 4,
entonces
es par
(proposición compuesta)

5) p es un Número primo (proposición simple)
Ahora representemos las proposiciones compuestas simbólicamente teniendo en cuenta

=> = al conectivo lógico: si, entonces


<=> = al conectivo lógico : si y solo si

y que a las afirmaciones se les puede sustituir con letras minúsculas como: p, q, r, t, etc.



Por tanto tendríamos lo siguiente
1)si estudio con aplicación
entonces
aprenderé
p = estudio con aplicación
q = aprenderé
simbólicamente : p => q



2)Si una figura es un cuadrilátero,
si y solo si
tiene 4 lados
r = una figura es un cuadrilátero
s = tiene 4 lados
simbólicamente: r <=> s








Estos conectivos lógicos son muy importantes ya que muchas propiedades, definiciones postulados y teoremas los utilizan
Una proposición de la forma (si, ... , entonces, ...) esta conformada por:

La
condición
o
hipótesis
: es aquella que se encuentra entre la palabra "si " y "entonces"


la
conclusión
o
tesis
: es aquella proposición que se encuentra después de la palabra entonces.

De los ejemplos anteriores determinemos la hipótesis y conclusión

1) tenemos que
p
es la hipótesis mientas que
q
es la conclusión

2) podemos decir que tanto;
r
como
s
son hipótesis o conclusión por tener como conectivo lógico si y solo si.




Ejemplo

En la proposición "si un número es divisible por 6, entonces es par", es suficiente que un número sea divisible por 6 para concluir que tal número es par, por tanto es una implicación.

La inversa
se formula al
negar
tanto la hipótesis como la tesis
La contrarrecíproca
Es la inversa de la recíproca; se obtiene al negar las dosproposiciones originales y cambiarles el orden
Veamos el siguiente ejemplo:

"Si un triángulo es equilátero, entonces es equitángulo"
Recíproca:
si un triángulo es equitángulo, entonces es equilatero
Inversa:
si un triángulo no es equilátero, entonces no es equitángulo.
contrarrecíproca:
si un triángulo no es equitángulo, entoces no es equilátero
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