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1-1 원시시대의 셈법

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by

jinmyoung koo

on 16 September 2013

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Transcript of 1-1 원시시대의 셈법

1-6 암호 수체계
밑수 b가 선택된 후 기호의 집합이 1,2, …, b-1;b,2b,…,(b-1)b;,2,…,(b-1)
많은 기호를 기억해야하지만 수의 표현은 치밀
이오니아식 혹은 알파벳 그리스 수체계 기원전 450경
10을 밑수로 27개의 문자를 이용
1-2 밑수
우선 어떤 수 b를 셈에 대한
밑수
(base)로서 선택한 다음, 수 1, 2, …, b에 이름을 붙이고 b보다 더 큰 수에 대한 이름은 이미 선택된 수의 이름을 가지고 합성
1-3 기수법
1-4 단순 그룹핑
단순그룹핑법 최초의 기수법 형태
어떤 수 b가 밑수로서 취해지고 1, b, b제곱
어떤 수 든지 이 기호를 요구된 수 만큼 반복적으로 되풀이 하면서 가법적으로 이용
1-5 승법적 그룹핑법
밑수가 b가 취해진 이후 1, 2, …. b-1의 기호와 또 다른 집합 등의 기호가 선택됨
그런 다음 이 두 집합의 기호를 승법적으로 이용하여 그보다 더 큰 수를 표현
처음 아홉 개의 수를 통상적인 기호로 사용하고 10, 100, 1000을 각각 a, b, c 로 표시
1-1 원시시대의 셈법
일대일 대응원리
10을 밑으로 하는 수
1, 2, …, 10
영어 one, two, …ten
- 각각 특별한 이름
11 eleven
ein lifon
twelve
two lif ( 10위의 2)
thirteen
(3과 10)
fourteen
(4와 10)
twenty
(two ten)
twenty-one
(two tens and one)
hundred
열 배
퀸스랜드 원주민
one two two and one two twos
아프리카의 피그미족 1,2,3,4,5,6,을 셀 때
a, oa, ua, oa-oa, oa-oa-a, oa-oa-oa
티에라 델 퓨고의 어느 종족 – 3을 기본으로
남아메리카 종족은 4
2,3,4를
밑으로 하는 수
5진법 가정 널리 사용된 첫 번째 수 체계
오늘까지도 몇몇 남아메리카 종족은 손으로 셈
one two three four hand hand and one
시베리아 유카길인도 혼합된 방법으로 셈
one two three ,three and one ,five ,two threes
독일 농부의 달력은 1800년까지도 5진법 사용
5를 밑으로 하는 수
역사 이전의 시대에 12가 주로 측량과 관련하여 밑수로 사용되었음
일년동안 초승달에서 다음 초승달까지의 근사적인 횟수에 의하여 생각되었을 지도
12가 상당히 많고 중요한 분수부분을 이루었기 때문
오늘날에도
12인치가1피트 12온스가 1파운드 12펜스가 1실링 12라인이 1인치 시계도 열두 시간 1년은 열두 달 열두개가 1다스 12다스가 1그로스
12를 밑으로 하는 수
20진법 맨발로 생활하던 시절
미국인디언족에 의해 이용
마야의 수체계
켈트족도
그린란드 사람들은 20을 one man 40을 two men
20을 말할 때 score
20을 밑으로 하는 수
60진법 고대 바빌로니아 인들이 사용 지금도 시간이나 각을 측정할 때 이용

60을 밑으로 하는 수
손가락수
손가락과 손의 다양한 위치를 이용한 수의 표현
수의 기호나 수의 이름의 사용을 유발시킨 원인
1,2,3,4, 초기 기수법 손각락 개수에 대응하는 적당한 수평 또는 수직의 획 긋기
손가락 수 상거래에서 일어날 수 있는 가장 커다락 수를 표현하기 위해 확장되어 나갔는데 중세에 이르러 여러 나라에 사용
손가락수 이점 언어의 차이 극복
그러나 음성수와 마찬가로 항구성 결여 계산하는데 적합하지 않음
이집트 상형문자
바빌로니아
- 약 3000 BC
- Base 10
- No Place Value System
- 1에서부터 9,999,999까지 쓸 수있음
- 상형문자
- 약 1750 BC
- Base 60
-- First to use place value
- up to 60 (one's place)
- 60's (second place)
- 3,600's (third place)
- 216,000 (fourth place)
- Used a dot to mean no 60's, 3600's, 216,000's
- Found zero but didn't fully understand
그리스 숫자
기원전 3세기 이전에 개발
수 이름에 대한 머리 문자로부터 만들어졌으며 밑수가 10인 단순 그룹핑법
1 10 100 1000 10000
I △ H X M
5는 특별 기호 그리스어 pente 5 의 머리 문자
△는 그리스어 deka 10의 머리 문자
5에 대한 기호는 홀로 사용되기도 했지만 흔희 수의 표현을 간단히 하기 위하여 다른 기호와 합
밑수를 10으로함
1 10 100 1000
I X C M
5, 50, 500
V L D
고대와 중세에 아주 드물게 작은 단위에 대한 기호를 보다 큰 단위에 대한 기호 앞에 놓아 그 두 단위의 차를 나타내는 뺄셈 원리가 이용

Ⅰ Ⅱ Ⅲ 손가락 으로부터 유래
Ⅹ 는 두 V를 합성했거나 교차된 손이나 엄지손가락에 의해 연상
로마 숫자
1-7 위치 수 체계
10을 밑수로하는 위치 수체계
밑수b가 선택된 후에 기본 기호들이 0, 1, 2…,b-1에 대하여 채택
b개의 기본기호가 생기는데 이를 흔히 이 체계의 숫자라고 부른다.
1-8 초기의 셈법
오늘날 초등 산수에서 사용되는 긴 곱셈이나 나눗셈과 같은 계산 규칙은 15세기 말에 이르러서야 개발
더디게 발전된 이유
정신적 어려움
물질적 어려움
정신적 어려움이 다소 무시됨.

단순그룹핑법에서 덧셈과 뺄셈이 각 종류이 수 기호를 계산하고 있어 더 높은 단위로 바꿔놓은 능력만을 요구하고 있음

암호수 체계에서는 충분한 덧셈과 곱셈표를 기억하기만 하면 우리가 오늘날 하는 것 만큼 작업을 진행할 수 있음
충분한 종이재료가 없이는 산술과정의 긴 전개가 곤란

파피루스 초기의 종이 재료 고대 이집트 발명 기원전 650년경

앙피지 송아지 가죽 너무 비싸서 지우고 다시씀

밀랍 입힌 작은 판

모래 쟁반
수판
정신적 물질적 어려움을 극복하기 위해 발명
인간이 이용한 최초의 기계적인 계산기
로마의 수판
계산 알을 끼움
1-9 인도-아라비아 수 체계
인도인들이 발명하고 아리비아인들이 서유럽으로 전파
기원전250년 인도의 아소카 왕 시대에 세워진 돌기둥에서 발견
어떻게 전해졌는지는 확실히 알 수 없음
12세기 이후 유럽에서 널리 전파
그 후 400년 동안 그 다음 산법론자 사이의 싸움이 계속 되는데
1500년에 이르러 우리의 현재의 계산 규칙이 최상에 이르게 되고
그 후 100년동안 수판론자들은 자취를 감추고
18세기 서유럽에서 수판은 사라짐
숫자는 인쇄술의 발전에 의해 완전히 고정되기 까지 상당한 변화를 겪음
수 체 계
** 왜 인도의 기수법이 좋았을까?
숫자 기호
10개만으로 모든 자연수
를 자유로이 표현할 수 있다.
- 이집트, 그리스, 로마 등의 기수법을 따르면 자리수가 하나 늘어날 때마다 새로운 숫자 기호가 적어도 하나는 있어야한다.

큰 수를 무한대로
표현할 수 있다.
- 이집트, 그리스, 로마 등의 기수법은 수를 나타낼 수 있는 문자가 유한하여 그 이상일 경우 그저 ‘많다’라고만 표현할 수 있다.
두 숫자의
대소가
일목요연해진다.

필산에 쉽게
이용할 수 있다.
-이집트, 그리스, 로마 등의 기수법에서 계산은 많은 경우 주판으로 했고, 숫자는 단지 계산 자료와 그 결과를 기록해 두는 수단에 그쳤다.
추후
16세기 말 소수 표기법
을 가능케 하였다.
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