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Aplicações da Geometria Plana e Espacial

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Ana Flávia Figueiredo

on 12 December 2014

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Transcript of Aplicações da Geometria Plana e Espacial

O termo geometria é a união das palavras “geo” (terra) e “metria” (medida); assim, a palavra geometria significa a "medida de terra“;

É a mais antiga manifestação da atividade matemática e surgiu por causa da necessidade do uso e aproveitamento máximo dos espaços disponíveis;

Foi um físico, matemático e inventor grego;
Nascido em Siracusa, na Sicília em 287 a.C;
Criou o "Princípio de Arquimedes";
Inventou um dispositivo em espiral para elevar água, o Parafuso de Arquimedes;
Desenvolveu as fórmulas da área da superfície e do volume da esfera e a alavanca.

Arquimedes formulou o seu princípio para a água, mas ele funciona para qualquer fluido, até mesmo para o ar.

ESTUDIOSOS DO TEMA
Aplicações da Geometria Plana e Espacial
DEFINIÇÃO DE GEOMETRIA PLANA
A Geometria Espacial corresponde a área da matemática que se encarrega de estudar as figuras no espaço, ou seja, aquelas que possuem mais de duas dimensões.

INTRODUÇÃO
Mostra-se presente em diferentes atividades, como por exemplo, no desenvolvimento de habilidade em engenharia com utilização da Geometria prática, na agricultura, na pecuária, no comércio, na arte, arquitetura entre outros.


A geometria plana, também chamada de euclidiana é a parte da matemática que estuda as figuras que não possuem volume;

TRIÂNGULO
QUADRADO
LOSANGO
DEFINIÇÃO DE GEOMETRIA ESPACIAL
PITÁGORAS
Foi um importante matemático e filósofo grego.
Nasceu em 570 a .C na ilha de Samos;
Através de estudos astronômicos, afirmou que a Terra era esférica e suspensa no Espaço (ideia pouco conhecida na época);
Observou que as estrelas, assim como a Terra, giravam ao redor do Sol;
Desenvolveu a tábua de multiplicação, o sistema decimal e as proporções aritméticas.

Ao visitar o Egito, impressionado com as pirâmides, desenvolveu o famoso Teorema de Pitágoras.
Este teorema permite calcular o lado de um triângulo retângulo, conhecendo os outros dois.

“Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.”

ARQUIMEDES
"Todo corpo mergulhado num fluido em repouso sofre, por parte do fluido, uma força vertical para cima, cuja intensidade é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo."'

DEFINIÇÃO DE POLIEDROS
Convexos:
Quando considerando qualquer uma de suas faces, o poliedro encontra-se por inteiro no mesmo semi-espaço que essa face determina.

Côncavos:
Quando, considerando qualquer uma de suas faces, ele não está contido apenas em um semi-espaço.

RELAÇÃO DE EULER
A relação criada por Euler possui extrema importância na determinação do número de arestas, vértices e faces de qualquer poliedro convexo e alguns não convexos.

Essa relação permite que os cálculos sejam realizados no intuito de determinarmos o número de elementos de um poliedro.





Em todo poliedro com A arestas, V vértices e F faces, é válida a relação

V - A + F = 2
EXEMPLO

Resolução:
V – A + F = 2
–4 + F = 2
6 – 10 + F = 2
F = 4 + 2
F = 6
Portanto, o sólido possui 6 faces.

Determine o número de faces de um sólido que possui 10 arestas e 6 vértices.
SÓLIDOS PLATÔNICOS
São sólidos convexos cujas arestas formam polígonos planos regulares congruentes.
Para Platão, o Universo era formado por um corpo e uma alma, ou inteligência.
Para ele na matéria havia porções limitadas por triângulos ou quadrados, formando-se elementos que diferiam entre si pela natureza da forma das suas superfícies periféricas.
Ele concebia o mundo como sendo constituído por quatro elementos básicos: a Terra, o Fogo, o Ar e a Água, e estabelecia uma associação mística entre estes e os sólidos.

OS CINCO ELEMENTOS
TETRAEDRO (Modelo do Fogo):
Este sólido representa o fogo, porque segundo Platão o átomo do fogo teria a forma de um poliedro com 4 lados.
Sólido formado por triângulos equiláteros
Em cada vértice concorrem 3 faces. 

CUBO (Modelo da Terra)
Este sólido representa a terra, porque Platão acreditava que os átomos de terra seriam cubos colocados perfeitamente lado a lado, conferindo-lhes solidez.
O cubo é o único poliedro regular com faces quadrangulares.
Tem 6 faces, e também pode-se chamar de hexaedro.

OCTAEDRO (Modelo do Ar)
Este sólido representa o ar, porque o modelo de Platão para um átomo de ar era um poliedro com 8 lados
As faces são triângulos equiláteros
Em cada vértice reúnem-se quatro triângulos. 

DODECAEDRO (Modelo do Cosmos)
Este sólido representa o universo, porque para Platão o cosmos seria constituído por átomos com a forma de poliedros com 12 lados.
É o único poliedro regular cujas faces são pentágonos regulares. 
Em cada vértice concorrem 3 faces.

ICOSAEDRO (Modelo da Água)
Este sólido representa a água, porque Platão defendia que a água seria constituída por poliedros com 20 lados
Em cada vértice concorrem cinco triângulos equiláteros.

PRINCÍPIO DE CAVALIERI
Consiste em um método capaz de determinar áreas e volumes de sólidos com muita facilidade.
Este princípio estabelece que dois sólidos com a mesma altura têm volumes iguais se as seções planas possuírem a mesma área.

“Dois sólidos, nos quais todo plano secante, paralelo a um dado plano, determina superfícies de áreas iguais ( superfícies equivalentes ), são sólidos de volumes iguais (sólidos equivalentes).”

APLICAÇÕES
AGRICULTURA

A agricultura usa a geometria espacial para determinar o volume (capacidade) de silos ou depósitos de armazenamento – para grãos, feno e palha.
Para fazer a colheita, deve-se conhecer a capacidade de armazenamento de silos e celeiros, além da capacidade de carga de caminhões e vagões
Para semear, o volume ou peso da semente se relacionam com a área a ser semeada .

ARQUITETURA
Torres de Madrid - Espanha
Museu do Louvre - França

Torre Eiffel - França

Catedral Basílica Nossa Senhora da Glória - Brasil

Torre de Pisa- Itália
Parthenon- Grécia
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