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Singulärwertzerlegung

Singulärwertzerlegung
by

Gerald Schefberger

on 7 November 2011

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Transcript of Singulärwertzerlegung

Singulärwertzerlegung SE NUMERISCHE MATHEMATiK Eigenwert und Eigenvektor Rang Kern Singulärvektoren Anwendung Ausflug in die Informatik Der Kern oder Nullraum einer Abbildung ist die Menge der Elemente, die auf die 0 oder allgemeiner das neutrale Element abgebildet werden.
Ist eine lineare Abbildung von Vektorräumen, dann heißt die Menge
der Kern von f. Der RANG einer Matrix ist gleich der maximalen
Anzahl ihrer linear unabhängigen Spalten, d.h.: Gilt für eine Matrix die Beziehung rang(A)=min{m,n},
dann besitzt A "Vollrang". Ist für eine Matrix die Beziehung
erfüllt (d.h., rang(A) = m), dann spricht man von einer
nichtsingulären (regulären) Matrix. Die Matrix heißt spaltenorthogonal, wenn die Spalten von A paarweise orthonormal sind, d.h.: Ist n=m, dann spricht man von einer orthogonalen Matrix. Gilt n > m und ist A^T "spaltenorthogonal", dann bezeichnet man die Matrix als "zeilenorthogonal". Die Zerlegung der Matrix A wird
Singulärwertzerlegung genannt. Abgeleitet von der englischen Bezeichnung "singular value decomposition" wird sie oft mit SVD abgekürzt. Als Eigenwert einer (n x n) Matrix A bezeichnet man Werte Lambda, welche die Gleichung erfüllen.
Dabei ist der Vektor x ein Eigenvektor der Matrix A.

Mit Hilfe des Charakteristischen Polynoms können die Eigenwerte bestimmt werden. Dabei ist I die
(n x n) Einheitsmatrix.
Es gibt n Eigenwerte (jeder in seiner Vielfachheit gezählt), wobei auch paarweise konjugiert komplexe Lösungen auftreten können. Ax = Lx Definition Bedeutung Jede (n x n) Matrix repräsentiert eine lineare Abbildung A eines n-dimensionalen Vektorraumes auf sich selbst. Die Eigenvektoren sind genau jene Vektoren, die unter A auf ein Vielfaches ihrer selbst abgebildet werden, d.h. die um den Faktor Lambda gestreckt werden. Charakteristisches Polynom Dieses Polynom, das nur für Quadratische Matrizen definiert ist, gibt Auskunft über einige Eigenschaften der Matrix oder linearen Abbildung.

Die Gleichung in der das charakteristische Polynom gleich Null gestellt ist, wird manchmal Säkulargleichung genannt.

Das charakteristische Polynom spielt eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Eigenwerte einer Matrix, denn die Eigenwerte sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Auch wenn man zum expliziten Berechnen des charakteristischen Polynoms immer eine Basis und damit eine Darstellungsmatrix auswählt, hängt das Polynom, wie auch die Determinante nicht von dieser Wahl ab. Beispiel Geometrisch ist der Kern in diesem Fall eine Gerade (die z-Achse) und hat demnach die Dimension 1. Die Dimension des Kerns wird auch als Defekt bezeichnet und kann mit Hilfe des Rangsatzes explizit berechnet werden. A sei eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten. Beispiel Extreme Singulärwerte Die extremen Singulärwerte sind sehr nützlich,
da sie Informationen über die Konditionszahl
der euklidischen Norm (2-Norm), über die (2-Norm)
der Inversen und über den Abstand zur Singularität
beinhalten.
Der größte Singulärwert definiert wie stark eine
Matrix einen Einheitsvektor strecken kann.
Der kleinste Singulärwert definiert wie stark eine
Matrix einen Einheitsvektor schrumpfen oder stauchen
kann. Konditionszahl In erster Näherung gilt daher: Die relativen Datenfehler von und von wirken sich durch den Faktor cond(A) verstärkt auf das Resultat des gestörten Gleichungssystems aus. Hat die Matrix A eine Größe Konditionszahl cond(A), so ist das lineare Gleichungssystem Ax = b schlecht konditioniert. PA Pb Singularität Eine Singularität bezeichnet in der Mathematik einen Punkt, an dem ein mathematisches Objekt nicht definiert ist oder an der eine sonst zutreffende Eigenschaft nicht vorhanden ist.

An diesen Stellen versagen die für das Objekt üblichen Methoden, numerische Methoden weisen oft in der Nähe von Singularitäten große Rundungsfehler auf. Bei einer nicht-singulären (regulären) Matrix sind alle
Singulärwerte verschieden von Null. Für allgemeine Matrizen
gibt die Anzahl der von Null verschiedenen Einträge an, wie
viel "Information" in der Matrix enthalten ist. Die Anzahl an
Nullen als Singulärwerten gibt den Grad der Redundanz einer Matrix an. Die Singulärvektoren einer Matrix A geben Informationen
über die Spaltenräume und die Nullräume von A und A*.
Der Spaltenraum einer Matrix A wird bestimmt durch die
rechten Seiten von b für die das System Ax=b eine Lösung
besitzt. Der Nullraum bestimmt ob diese Lösungen eindeutig sind.
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