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Unendlich-Kategorien und Quantenfeldtheorie

This is a talk about infinity-categories and quantum field theory, designed for a general (pure and applied) mathematical audience.
by

Konrad Waldorf

on 19 December 2013

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Transcript of Unendlich-Kategorien und Quantenfeldtheorie

Unendlich-Kategorien
und
Quantenfeldtheorie

Kategorien
Michael Atiyah
Graeme Segal
Mengen und Abbildungen
Vektorräume und lineare Abbildungen
Topologische Räume und stetige Abbildungen
Kategorien und Funktoren
Maßräume und messbare Abbildungen
Beispiele
Samuel Eilenberg
Saunders Mac Lane
Definition
Konrad Waldorf
Kobordismus-Kategorien
Quanten-
feld-
theorie

1) nur mathematische Formulierung
2) nur bestimmte Arten
1) 2)
Definition
Unendlich-
Kategorien

2 Probleme dieser
Definition von Quantenfeldtheorie
Wozu braucht man Unendlilch-Kategorien in der Quantenfeldtheorie?
Weihnachtskolloquium am Institut für Mathematik und Informatik
18. Dezember 2013
"General theory of natural equivalences" Transactions of the American Mathematical Society, 1945.
* frei nach http://ncatlab.org/schreiber/files/QPL2011Schreiber.pdf
"Topological Quantum Field Theory"
Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci., 1988
"The Definition of Conformal Field Theory"
Vortrag beim International Congress of Mathematical Physics, Swansea 1988
Beispiele
2-dimensionale, topologische Quantenfeldtheorie
3-dimensionale, topologische Quantenfeldtheorie
Alexander Grothendieck
"Pursuing Stacks", letter to D. Quillen, 1983
André Joyal
"A letter to Grothendieck", 1983
Beispiele
Die Homotopie-Unendlichkategorie eines Topologischen Raumes
Varianten
Stetige Abhängigkeit
Lokalität
John C. Baez & James Dolan
"Higher-dimensional algebra and topological quantum field theory"
J. Math. Phys., 1995

Stephan Stolz & Peter Teichner
"What is an elliptic object?"
Cambridge University Press, 2003
Jacob Lurie
"On the Classification of Topological Field Theories", 2009
"Higher Topos Theory", AMS, 2011
?
Die Kobordismus-Vermutung
Die Unendlich-Kobordismus-Kategorie
Neue Definition
Objekte
Komposition von Morphismen
Morphismen zwischen den Objekten
Variationen
Warum braucht man eine mathematische Formulierung?
1-dimensionale, topologische Quantenfeldtheorie
Hierarchie von Höheren Kategorien
Die 2-Kategorie von Algebren
Die Homotopie-Vermutung
Daniel Quillen
"Homotopical Algebra", Springer, 1967
William G. Dwyer & Daniel M. Kan
"Function complexes in homotopical algebra",
Topology, 1980
Formulierung der Kobordismus-Vermutung
Anwendung: Dimension 1
Anwendung: Dimension 2
Anwendung: Dimension 3
Das Stolz-Teichner-Programm
Die Vermutung wurde 1995 von John Baez und James Dolan erstmalig formuliert.

Jacob Lurie hat 2009 auf 111 Seiten
einen Beweis skizziert.
Unendlich-Kategorien und Quantenfeldtheorie
Chris Schommer-Pries
"The Classification of Two-Dimensional Extended
Topological Field Theories", Ph.D Dissertation, UC Berkeley, 2009
*
*
Bitte beachten: dieser Vortrag richtet sich an ein allgemein-mathematisches Publikum, nicht an Experten für Homotopietheorie. Einige Definitionen und Sätze werden zum Vorteil besserer Verständlichkeit vereinfacht dargestellt und sind nicht wörtlich korrekt. Die angegebenen Referenzen sind nur unvollständig; viele wertvolle Beiträge anderer Mitwirkender konnten leider nicht alle Erwähnung finden.
Urs Schreiber und der Autor dieser Präsentation sind beide Physiker.
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