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Geometria Plana e Espacial

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on 18 May 2014

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Transcript of Geometria Plana e Espacial

Passos para a resolução:
h = Altura
Soma dos ângulos
Prisma
A base e a tampa são polígonos idênticos e paralelos
As faces laterais são retângulos
São classificados pelo formato de sua base
Para calcular a Área de Base (Ab), usa-se a mesma fórmula da geometria plana
Geometria Plana
Para calcular a Área Lateral (Al), soma-se as áreas dos retângulos laterais
Para calcular a Área total (At), usa-se a seguinte fórmula:
At = 2Ab + Al
Número de diagonais
Diagonal
Seguimento que une 2 vértices não consecutivos
Para calcular o Volume (v), usa-se a seguinte fórmula:
v = Ab . h
(altura)
Fórmula para calcular as diagonais
D = (n-3)n
2
Soma dos ângulos internos
n = número de lados
Si = (n-2)180º
Soma dos ângulos externos
A soma dos ângulos externos será sempre 360º
Casos Especiais
Paralelepípedo
É um prisma cuja base é um paralelogramo
Suas 6 faces são paralelogramos
Triângulos
Classificação
Fórmulas Importantes
Relembrando...
Quanto aos lados
Quanto aos ângulos
Equilátero
Isóceles
Escaleno
Retângulo
A diagonal da base (d), é calculada pela seguinte relação:
d = √a² + b²
Obtusângulo
Acutângulo
A diagonal do Paralelepípedo (D), é calculada pela seguinte relação: D = √a² + b² + c², porém a² + b² = d, ou seja, podemos reescrever a fórmula por
D = d² + c²
Cubo
Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes, ou seja, a = b = c
As 6 faces são quadrados
Relações Importantes
Ab = a²
Al = 4a²
At = 6a²
v = a³
d = a √2
D = a √3
Todos os lados são iguais
Dois lados são iguais
Três lados com medidas diferentes
Exercícios Resolvidos
Para resolvermos essa questão, temos que perceber que o prisma está planificado, então devemos juntar suas partes, resultando em uma figura parecida com essa:
Podemos ver, agora, que o prisma tem uma base triangular, não quadrangular.
10
6
Olhando para os triângulos, vemos que eles são triângulos retângulo, ou seja, aplicamos Pitágoras para descobrir a medida que falta.
.
X
Aplicando o Teorema, temos como valor da medida faltante 8.
Agora, aplicamos a fórmula do Volume de um Prisma: V = Ab . h
Ab = 6 . 8 / 2
h = 6
Letra a)
UFRGS (2014)
UFRGS (2014)
Sabendo-se o volume do cubo, podemos calcular o seu lado (aresta).
V = a³, ou seja, 216 = a³, então para calcular o lado fazemos √216, que é igual a 6.
Se os vértices são pontos médios, e o lado é 6, cade parte vale 3.
Assim, temos um Triângulo Retângulo, com dois catetos valendo 3, aplicando Pitágoras, descobrimos que o lado do hexágono é 3√2.
.
3
3
X
Como ele quer o perímetro (2P), sabemos que o hexágono possui 6 lados, ou seja, multiplicamo o seu lado por 6 e obtemos a resposta.
Realizando o que foi dito, temos que:
2P = 3√2 .6
Letra e)
Geometria Espacial
Aresta (A)
: o encontro de duas Faces

Vértices (V)
: o ponto de encontro entre 3 ou mais Arestas

Face (F)
: Superfície limitada por um Polígono

Relação de Euler
V + F = A + 2
Num Cubo, por exemplo, temos 12 arestas e 6 faces, se quiséssemos saber o numero de vértices, bastava colocar na relação.
V + 6 = 12 + 2
Possui um ângulo de 90º
Apresenta um ângulo interno obtuso (maior que 90º)
Apresenta os 3 ângulos internos menores que 90º
A soma dos ângulos internos é igual a 180º
Qualquer lado de um triângulo é sempre menor do que a soma dos outros 2
Trapézio
Dois lados paralelos entre si
Área de um Trapézio
A = (B+b) . h
2
Trapézio Retângulo
2 ângulos de 90
Paralelogramo
Lados Paralelos de dois em dois
Ângulos Opostos Iguais
.
.
Ângulos não opostos = 180 graus
D
A
C
B
Área de um Paralelogramo
A = b . h
Retângulo
Lados paralelos de dois em dois e 4 ângulos retos
b
h
d
Considerando "a" como a medida do maior lado do triângulo e "b" e "c" como as medidas do outros dois lados, pode haver os seguintes casos
Se
a²=b²+c²
o triângulo é

retângulo
Área de um Retângulo
A = b . h
Se
a²<b²+c²
o triângulo é
acutângulo
Se
a²>b²+c²
o triângulo é
obtusângulo
Losângo
Área do Triângulo
A área do triângulo pode ser calculada através das seguintes equações:
A = b.h
Lados paralelos de dois em dois e com 4 lados iguais
2
As diagonais do Losângo dividem os ângulos ao meio
Área de um Losângo
Propriedades
A = a.b.sen
Ângulos opostos têm medidas iguais
2
As suas diagonais são retas perpendiculares, formando ângulos de 90° em seu centro.
A = √p.(p-a)(p-b)(p-c)
A = D . d
2
b = Base
Quadrado
sen = seno do angulo ab
p = semi-perímetro
a+b+c
2
Reúne, numa só figura todas as características especiais dos quadriláteros
Área de um Quadrado
A = b . h ou l²
Diagonal de um Quadrado
D = l√2
Casos Especiais
.
.
.
.
r = d/2
V + F = A + 2
r = l/2
V = 8
Hexágono Regular
Noções Básicas
6 lados iguais
6 ângulos iguais
6 Triângulos Equiláteros
Área do Hexágono Regular
6 . l²√3
h
Ab
4
A =
Casos Especiais
r = l
Inscrito
Circunscrito
r = h (triângulo equilátero)
L
L
L
L
Triângulo Equilátero
Área do Triângulo Equilátero
A = l²√3
4
Altura do Triângulo Equilátero
A área de um lado do cubo será a aresta ao quadrado
h = l√3
2
A diagonal do cubo pode ser calculada através de:
A diagonal de um dos lados do cubo pode ser calculada por:
r = 2/3 h
Triângulo inscrito em uma circunferência
A aresta do cubo pode ser multiplicada por ela mesma (a²) obtendo a área de um lado e novamente (a³) para obter o volume
r = 1/3 h
Em um triângulo
circunscrito

A área total é obtida pela multiplicação da área de um lado por todos os outros seis
A área dos lados é obtida pela multiplicação da área obtida em um lado pela quantidade restantes de lados
Círculo
=
Circunferência
.
r
Comprimento da Circunferência
C = 2
x
10
6
r
V = 24 . 6 = 144
Área da Circunferência
A = r²
3
2P = 18√2

Propriedades
Casos Especiais
h
L
L
L
.
.
r
h
r
{
h
h
Base maior(B)
Base menor(b)
Propriedades
Passos para a resolução:
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