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Unidad 5 Lineas de espera

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Mercedes Marroquín Reyes

on 12 December 2012

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UNIDAD 5 "LINEAS DE ESPERA" 5.1 DEFINICIONES, CARACTERÍSTICAS, SUPOSICIONES 5.2 CONCEPTOS BÁSICOS 5.3 PROCESOS DE NACIMIENTO Y MUERTE 5.4 MODELO DE POISSON 5.5 ANÁLISIS DE COSTO Una línea de espera es el efecto resultante en un sistema cuando la demanda de un servicio supera la capacidad de proporcionar dicho servicio. Este sistema está formado por un conjunto de entidades en paralelo que proporcionan un servicio a las transacciones que aleatoriamente entran al sistema. Dependiendo del sistema que se trate, las entidades pueden ser cajeras, máquinas, semáforos, grúas, etcétera, mientras que las transacciones pueden ser: clientes, piezas, autos, barcos, etcétera. Tanto el tiempo de servicio como las entradas al sistema son fenómenos que generalmente tienen asociadas fuentes de variación que se encuentran fuera del control del tomador de decisiones, de tal forma que se hace necesaria la utilización de modelos estocásticos que permitan el estudio de este tipo de sistemas.
Una línea de espera puede modelarse como un proceso estocástico en el cual la variable aleatoria se define como el número de transacciones en el sistema en un momento dado; el conjunto de valores que puede tomar dicha variable es {O, 1, 2, . . . , N\ y cada uno de ellos tiene asociada una probabilidad de ocurrencia -Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar el comportamiento de estado estable, como la longitud promedio de la línea y el tiempo de espera promedio para un sistema dado. Esta información, junto con los costos pertinentes, se usa, entonces, para determinar la capacidad de servicio apropiada. -Costos de los sistemas de colas.
Un sistema de colas puede dividirse en sus dos componentes de mayor importancia, la cola y la instalación de servicio . Las llegadas son las unidades que entran en el sistema para recibir el servicio. Siempre se unen primero a la cola; si no hay línea de espera se dice que la cola esta vacía . De la cola, las llegadas van a la instalación de servicio de acuerdo con la disciplina de la cola, es decir, de acuerdo con la regla para decidir cuál de las llegadas se sirve después. El primero en llegar primero en ser servido es una regla común, pero podría servir con prioridades o siguiendo alguna otra regla. Una vez que se completa el servicio, las llegadas se convierten en salidas.
Ambas componentes del sistema tienen costos asociados que deben de considerarse. Costo de Espera.
Esperar significa desperdicio de algún recurso activo que bien se puede aprovechar en otra cosa y esta dado por :
Costo total de espera = CwL
Donde Cw = costo de espera por hora (en dólares) por llegada por unidad de tiempo y L= longitud promedio de la línea. Costo de Servicio.
Este en la mayoría se trata de comprar varias instalaciones de servicio , en estos casos solo se ocupan los costos comparativos o diferenciales. -* Sistema de costo mínimo.
Aquí hay que tomar en cuenta que para tasas bajas de servicio, se experimenta largas colas y costos de espera muy altos. Conforme aumenta el servicio disminuyen los costos de espera, pero aumenta el costo de servicio y el costo total disminuye, sin embargo , finalmente se llega a un punto de disminución en el rendimiento. Entonces el propósito es encontrar el balance adecuado para que el costo total sea el mínimo. -*Estructuras típicas.
Las llegadas pueden ser personas, cartas, carros, incendios, ensambles intermedios en una fábrica, etc. En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos de varios sistemas de colas. Fuente:
Recibe el nombre de fuente el dispositivo del que emanan las unidades que piden un servicio. Si el número de unidades potenciales es finito, se dice que la fuente es finita; en caso contrario se dice que es infinita. Cuando la fuente es finita se suele asumir que la probabilidad de que se produzca una llegada en un intervalo de tiempo es proporcional al tamaño de la fuente en ese instante. En general, nos restringiremos al estudio de sistemas de colas con fuentes infinitas. Tiempo entre llegadas.
Existen dos clases básicas de tiempo entre llegadas: Determinístico, en el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de tiempo, fijo y conocido. Un ejemplo clásico es el de una línea de ensamble, en donde los artículos llegan a una estación en intervalos invariables de tiempo. Probabilístico, en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y variable. Los tiempos entre llegadas probabilísticos se describen mediante una distribución de probabilidad. Mecanismos de servicio
Se llama capacidad del servicio al número de clientes que pueden ser servidos simultáneamente. Si la capacidad es uno, se dice que hay un solo servidor (o que el sistema es monocanal) y si hay más de un servidor, multicanal. El tiempo que el servidor necesita para atender la demanda de un cliente (tiempo de servicio) puede ser constante o aleatorio. Disciplina de la cola
En sistemas mono canal, el servidor suele seleccionar al cliente de acuerdo con uno de los siguientes criterios.

-El que llegó antes.
-El que llegó el último.
-El que menos tiempo de servicio requiere.
-El que más requiere. Supuestos
El modelo simple de teoría de colas que se ha definido, se basa en las siguientes suposiciones: a) Un solo prestador del servicio y una sola fase. b) Distribución de llegadas de poisson donde l = tasa de promedio de llegadas) Tiempo de servicio exponencial en donde m = tasa de promedio del servicio. d) Disciplina de colas de servicio primero a quien llega primero; todas las llegadas esperan en línea hasta que se les da servicio y existe la posibilidad de una longitud infinita en la cola. El problema es determinar que capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que el cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en que momento llegarán los clientes. También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo. * Características operativas
Medidas de desempeño para una línea de espera que incluyen la probabilidad de que no haya unidades en el sistema, la cantidad promedio en la línea, el tiempo de espera promedio, etc.*Operación de estado estable
Operación normal de la línea de espera después de que ha pasado por un periodo inicial o transitorio. Las características operativas de las líneas de espera se calculan para condiciones de estado estable.*Tasa media de llegada
Cantidad promedio de clientes o unidades que llegan en un periodo dado. *Línea de espera de canales múltiples
Línea de espera con dos o más instalaciones de servicio paralelas.
*Bloqueado
Cuando las unidades que llegan no pueden entrar a la línea de espera debido a que el sistema está lleno. Las unidades bloqueadas pueden ocurrir cuando no se permiten las líneas de espera o cuando las líneas de espera tienen una capacidad finita.
*Población infinita.-
Población de clientes o unidades que pueden buscar servicio, no tiene un límite superior especificado. Población finita.-
Población de clientes o unidades que pueden buscar servicio, tiene un valor fijo y finito.Usualmente siempre es común utilizar la siguiente terminología estándar:

Po= Probabilidad de que no haya clientes en el sistema
Lq= Número de clientes promedio en una línea de espera
L= Número de clientes promedio en el sistema (Clientes en cola y clientes que están siendo atendidos).
Wq= Tiempo promedio que un cliente pasa en la línea de espera.
W= Tiempo total promedio que un cliente pasa en el sistema.
Pn= Probabilidad de que haya n clientes en el sistema.
Pw= Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio.

Todas estas características operativas de estado estable se obtienen mediante formulas que dependen del tipo de modelo de línea de espera que se este manejando. La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas (llegada de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de acuerdo al proceso de nacimiento y muerte. Este importante proceso de teoría de probabilidad tiene aplicaciones en varias áreas. Sin embrago en el contexto de la teoría de colas, el término nacimiento se refiere allegada de un nuevo cliente al sistema de colas y el término muerte se refiere ala salida del cliente servido. El estado del sistema en el tiempo t (t 0), denotado por N (t), es el número de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempo t.
El proceso de nacimiento y muerte describe en términos probabilísticos cómo cambia N (t) al aumentar t. En general, dice que la mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas (llegada de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de acuerdo al proceso de nacimiento y muerte. Este importante proceso de teoría de probabilidad tiene aplicaciones en varias áreas. Sin embrago en el contexto de la teoría de colas, el término nacimiento se refiere allegada de un nuevo cliente al sistema de colas y el término muerte se refiere ala salida del cliente servido. El estado del sistema en el tiempo t (t 0), denotado por N (t), es el número de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempo t.
El proceso de nacimiento y muerte describe en términos probabilísticos cómo cambia N (t) al aumentar t. En general, dice que los nacimientos y muertes individuales ocurren aleatoriamente, en donde sus tasas medias de ocurrencia dependen del estado actual del sistema. De manera más precisa, las suposiciones del proceso de nacimiento y muerte son las siguientes:
ue los nacimientos y muertes individuales ocurren aleatoriamente, en donde sus tasas medias de ocurrencia dependen del estado actual del sistema. De manera más precisa, las suposiciones del proceso de nacimiento y muerte son las siguientes: Suposiciones SUPOSICIÓN 1.



Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro (n=0,1,2,….).



SUPOSICIÓN 2.



Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (terminación de servicio) es exponencial con parámetro (n=1,2,….).



SUPOSICIÓN 3.



La variable aleatoria de la suposición 1 (el tiempo que falta hasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria de la suposición 2 (el tiempo que falta hasta la siguiente muerte) son mutuamente independientes.

Excepto por algunos casos especiales, el análisis del proceso de nacimiento y muerte es complicado cuando el sistema se encuentra en condición transitoria. Se han obtenido algunos resultados sobre esta distribución de probabilidad de N (t) pero son muy complicados para tener un buen uso práctico. Por otro lado, es bastante directo derivar esta distribución después de que el sistema ha alcanzado la condición de estado estable (encaso de que pueda alcanzarla). Distribución de llegadas.
Definir el proceso de llegada para una línea de espera implica determinar la distribución de probabilidad para la cantidad de llegadas en un periodo dado. Para muchas situaciones de línea de espera, cada llegada ocurre aleatoria e independientemente de otras llegadas y no podemos predecir cuando ocurrirá. En tales casos, los analistas cuantitativos has encontrado que la distribución de probabilidad de Poisson proporciona una buena descripción del patrón de llegadas. Esta distribución debe su nombre al matemático francés Simón Poisson (1781-1840), quien estableció su modelo.
Existen fenómenos o experimentos en los que los eventos ocurren en intervalos continuos de tiempo o espacio (áreas y volúmenes), donde sólo importa la ocurrencia del fenómeno, ya que la no ocurrencia no tiene sentido. Por ejemplo, si en cierta región ocurren en promedio 2 terremotos por año, la variable aleatoria será el número de terremotos por año y es claro que no tiene sentido hablar del número de no terremotos por año. Lo mismo sucede para otros fenómenos, como el número de errores en una página, derrumbes anuales en una región montañosa, accidentes de tráfico diarios en cierto crucero, personas atendidas en un banco en un período de 10 minutos, partículas de polvo en cierto volumen de aire, nacimientos de niños en un periodo de tiempo, rayos que caen en una tormenta, llamadas que llegan a un conmutados telefónico en un minuto, insectos por planta en un cultivo, etc. También es de importancia mencionar que cada ocurrencia puede considerarse como un evento en un intervalo de tiempo determinado. Si consideramos que:
1. La esperanza de ocurrencia de un evento en un intervalo es la misma que la esperanza de ocurrencia del evento en otro intervalo cualesquiera, sin importar donde empiece el intervalo
2. Que las ocurrencias de los eventos son independientes, sin importar donde ocurran
3. Que la probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo de tiempo depende de la longitud del intervalo
4. Que las condiciones del experimento no varían, y
5. Que nos interesa analizar el número promedio de ocurrencias en el intervalo
Entonces se puede afirmar, que la variable aleatoria mencionada en los fenómenos descritos es una variable de Poisson. Características de la Distribución de Poisson
Un modelo de probabilidad de Poisson tiene las siguientes características:
1. El espacio muestral se genera por un número muy grande (puede considerarse infinito) de repeticiones de un experimento cuyo modelo de probabilidad es el de Bernoulli, con probabilidad de éxito muy pequeña. Por esta razón, a la distribución de Poisson suele llamársele de eventos raros. Las repeticiones del experimento de Bernoulli se realizan en cada uno de los puntos de un intervalo de tiempo o espacio.
2. El número de éxitos en el intervalo li es ajeno al número de éxitos en el intervalo lk, por lo que li Ç lk = f
3. La probabilidad de que se tengan dos o más éxitos en el mismo punto del intervalo es cero.
4. El número promedio de éxitos en un intervalo es una constante l, que no cambia de intervalo a intervalo.
Para aclarar el significado de estos 4 postulados, se presenta el siguiente ejemplo.
Ejemplo 5. 16. Anteriormente se mencionó el número de accidentes diarios en un cruce de calles como un caso de fenómeno en el que los eventos ocurren en intervalos continuos de tiempo, donde sólo importa la ocurrencia del fenómeno, y de acuerdo a sus características puede decirse que la variable aleatoria del número de accidentes diarios puede representarse por un modelo de Poisson. En seguida analizamos lo razonable de los 4 postulados anteriores en esta situación:
1. Si consideramos un lapso, tan pequeño como se quiera, pero que para propósitos prácticos puede ser un segundo y tomamos como éxito que ocurra un accidente en ese lapso, tenemos que en el intervalo de tiempo de un día hay 86,400 segundos, o sean 86,400 repeticiones de un experimento de Bernoulli. Es obvio que la probabilidad de éxito en cada repetición es muy pequeña.
2. Aquí, cada intervalo li puede ser un día, por lo que es lógico suponer que el número de accidentes en un día es independiente del número de accidentes en otro día cualquiera, lo cual no ocurre, por ejemplo, con el número de personas que adoptan una moda en un día determinado, ya que una moda tiene una etapa creciente, un apogeo y una etapa decreciente. En estas últimas condiciones, se dice que existe contagio y el modelo de probabilidad no puede suponer independencia entre los intervalos. En el caso del modelo de Poisson se dice que no existe contagio.
3. Puesto que una repetición del experimento de Bernoulli ocurre cada segundo, es razonable suponer que no pueden ocurrir dos accidentes en el mismo segundo
4. Mientras las condiciones de vialidad no cambien en el crucero de calles, es aceptable el supuesto de que el número promedio de accidentes por día, al que representaremos por l, permanece constante.
Función de Probabilidad
La deducción de la función de probabilidad de una variable aleatoria cuyo modelo de probabilidad es de Poisson queda fuera del alcance de este curso, por lo que enseguida se presenta una definición de esta función.

Una variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson, si su función de probabilidades está dada por:
donde e es la base de los logaritmos naturales y l el promedio de la distribución, la cual debe ser mayor que cero.
Nótese que una vez especificado el promedio l puede calcularse cualquier probabilidad, pero para cada valor de l se tiene una función de probabilidades distinta. INTRODUCCIÓN
El análisis de costo es simplemente, el proceso de identificación de los recursos necesarios para llevar a cabo la labor o proyecto del voluntario. El análisis de costo determina la calidad y cantidad de recursos necesarios. Entre otros factores, analiza el costo del proyecto en términos de dinero. Con frecuencia, los voluntarios suponen que cuentan con los recursos necesarios y que el costo es tan bajo que no es necesario realizar el análisis. Sin embargo puede ocurrir que, una vez que el proyecto esté marchando los voluntarios se den cuenta de que los utensilios, el equipo, los materiales y la mano de obra especializada que se requiere para completarlo no están disponibles. También puede ocurrir que se haya completado el proyecto, (en este caso un pozo de agua) y todos los participantes han ignorado la necesidad de adquirir los repuestos necesarios para la bomba. Varios meses después de finalizar el proyecto la bomba falla y no se tienen los repuestos adecuados para arreglarla.
El análisis de costo no sólo ayuda a determinar el costo del proyecto y su mantenimiento sino que también sirve para determinar si vale o no la pena llevarlo a cabo. DESCRIPCION
El análisis de costo determina la cantidad y la clase de:
1) materiales/dinero; y 2) número de voluntarios y personal necesarios para poder completar el proyecto. Para estimar la cantidad total de recursos necesarios, el voluntario deberá considerar cada una de las tareas que han de ejecutarse (Ver Capítulo III. Planificación de las
Actividades).
Deberá incluir la cantidad de horas que considera necesarias para cada una de las tareas. Lo mismo deberá hacerse con respecto al tipo y cantidad de materiales indicados para cada tarea. Una concluidouído este análisis, el voluntario deberá desarrollar un presupuesto especificando el número de personas y los materiales (Ver el ejemplo que damos a continuación).
El presupuesto podria incluir factores que no pueden ser medidos en términos de dinero. Por ejemplo, los servicios prestados por los habitantes de la comunidad y los de los voluntarios. Estos factores se expresarán en días de trabajo y pueden excluirse de la Columna 1. Sin embargo, la cantidad de servicios prestados deberá incluirse para poder asegurarnos que el proyecto cuenta con suficientes voluntarios (no remunerados) entre los miembros de la comunidad.
Por ejemplo: El proyecto requiere los servicios de 20 miembros de la comunidad. Cada uno de éstos proporcionará
60 días de trabajo por un periodo de un ano. La pregunta es: Se puede contar con ellos, en esta comunidad? Si la respuesta es negativa, es probable que el proyecto no pueda llevarse a cabo.
La misma pregunta puede hacerse con a los voluntarios. Se puede contar con los servicios del grupo de voluntarios, por "X" número de días, en un periodo de un año?
En el ejemplo "X" se asume que tanto los materiales como los recursos y el equipo serán proporcionados por el proyecto.
VENTAJAS
Mientras más complicado sea el proyecto, más completo deberá ser el análisis de costo. Si Ud. ha incluido correctamente todos los factores, podrá saber con seguridad sí su proyecto cuenta con los recursos económicos necesarios.
DESVENTAJAS
El análisis de costo no puede ser la única norma empleada para determinar las posibilidades de un proyecto. Este análisis debe ser considerado conjuntamente con el Análisis de la Situación y la Evaluación de las Necesidades. Por otra parte, el hecho que no se consigan los fertilizantes, por ejemplo, no es una razón suficiente para anular el proyecto.
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