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APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS A LAEMPRESA Y A LA

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Martha Lara Cobos

on 6 May 2015

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APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS A LAEMPRESA Y A LA ECONOMIA
(referencia: Harshbarger and Reynolds. Matemáticas aplicadas a la administración, economía y ciencias sociales. Mc Graw Hill, 2005.

Las ganancias de una compañía petrolera dependen de la cantidad de petróleo que puede extraer de un pozo. Por lo tanto, podemos considerar que una bomba en un campo petrolero produce un flujo de ingreso continuo para el propietario. Puesto que con el tiempo se “desgastan” tanto la bomba como el campo petrolero, el flujo de ingreso continuo es una función del tiempo. Suponga que f(t) es la tasa del flujo de ingreso (anual) de esta bomba; entonces podemos encontrar el ingreso total a partir de la tasa de ingreso usando la integración. En particular, el ingreso total para k años está dado por



Ing. Total =

FLUJOS DE INGRESO CONTINUO
EJEMPLO:


Una pequeña compañía petrolera considera el bombeo continuo de petróleo de un pozo como un flujo de ingreso continuo con su tasa de flujo anual en el tiempo t dada por

f (t) = 600e^-0,2t

en miles de dólares al año. Encuentre un estimado del ingreso total por este pozo durante los próximos 10 años.


Si f(t) es la tasa del flujo continuo de ingreso que gana una tasa de interés r, compuesta continuamente, entonces el valor presente del flujo continuo de ingreso es

Valor presente =

donde t = 0 a t = k es el intervalo de tiempo.

La integral definida se puede usar en varias aplicaciones empresariales y económicas . Por ejemplo, la integral definida se emplea para encontrar el ingreso total durante un número fijo de años a partir de un flujo de ingreso continuo. También se puede utilizar para encontrar el valor presente y el valor futuro de un flujo de ingreso continuo, así como para identificar el superávit del consumidor y el superávit del productor, cuando se conoce la función de la demanda y la función de la oferta de un producto.

Además del ingreso total de un flujo de ingreso continuo, el
valor presente
del flujo también es importante. El valor presente es el valor actual de un flujo de ingreso continuo que proporcionará el ingreso en el futuro. El valor presente sirve para decidir cuándo reemplazar la maquinaria (como la bomba de petróleo del ejemplo) o qué equipo nuevo elegir.
VALOR FUTURO DE UN FLUJO CONTINUO DE INGRESO

Si f(t) es la tasa de flujo continuo durante k años, ganando una tasa de interés r compuesto continuamente, entonces el valor futuro del flujo continuo de ingreso es

F.V. =
EJEMPLO:


Si la tasa de flujo de ingreso de un activo es 1000e^0,02t en millones de dólares por año, y si el ingreso se invierte a una tasa de interés de 6% compuesto continuamente, encuentre el valor futuro del activo dentro de 4 años.

EJERCICIO:

Suponga que un flujo de ingreso continuo tiene una tasa anual de flujo dada por f(t)= 5000e^-0,01t y suponga que el dinero crece un 7% compuesto continuamente. Plantee la integral empleada para encontrar:
* el ingreso total para los próximos 5 años.
* el valor presente para los próximos 5 años.
* el valor futuro en 5 años a partir de ahora.

SUPERÁVIT DEL CONSUMIDOR

Suponga que la demanda de un producto está dada por p=f(x) y que la oferta del producto es descrita por p=g(x). El precio p1 donde se intersecan las gráficas de estas funciones es el
precio de equilibrio
La ganancia total para todos aquéllos dispuestos a pagar mas de $p1 se conoce como
superávit del consumidor
y con las suposiciones apropiadas, el área de la región sombreada representa este superávit del consumidor.

Observando la figura, vemos que si la curva de demanda tiene ecuación p = f(x), el superávit del consumidor está dado por el área entre f(x) y el eje de las x de 0 a x1, menos el área del rectángulo expresado como TR (ingreso total):


CS =


Obsérvese que con el precio de equilibrio p1 y la cantidad de equilibrio x1, el producto p1x1 es el área del rectángulo que representa el total de dólares que gastaron los consumidores y que los productores recibieron como ingreso.

EJEMPLOS:

La función de demanda para x unidades de un producto es p= 𝟏𝟎𝟎/(𝒙+𝟏)dólares. Si el precio de equilibrio es de $20, ¿cuál es el superávit del consumidor?


La función de demanda de un producto es p= raíz (49 - 6x) y su función de oferta es p = x + 1, donde p se da en dólares y x es el número de unidades. Encuentre el punto de equilibrio y el superávit del consumidor.

Suponga que un monopolio tiene dado su costo total (en dólares) para un producto C(x) = 60 + 2x^2 . Suponga también que la demanda está dada por p= 30 – x, donde p está en dólares y x es el número de unidades. Encuentre el superávit del consumidor en el punto donde el monopolio tiene su ganancia máxima.

SUPERÁVIT DEL PRODUCTOR

Cuando se vende un producto al precio de equilibrio, algunos productores también se benefician, ya que ellos estaban dispuestos a vender el producto a un precio más bajo. El área entre la línea p1 y la curva de oferta (de x=0 a x= x1) da como resultado el superávit del productor.

Si la función de la oferta es p=g(x), el superávit del productor está dado por la diferencia entre el área entre la gráfica de p=g(x) y el eje de las x, de 0 a x1, y el área del rectángulo 0x1Ep1.

PS =
Obsérvese que p1x1 representa el ingreso total en el punto de equilibrio.
EJEMPLOS:

Suponga que la función de la oferta para x unidades de un producto es p= x^2 + x dólares. Si el precio de equilibrio es $20, ¿cuál es el superávit del productor?

La función de la demanda para un producto es p = raíz (49 - 6x) y la función de oferta es p=x+1. Encuentre el superávit del productor.

EJERCICIOS:

Si la demanda es p = 𝟏𝟎𝟎/(𝒙+𝟏), la oferta es p=x+1 y el equilibrio del mercado es (9,10), plantee la integral que se aplica para encontrar el

Superávit del consumidor.
Superávit del productor.

Suponga que para cierto producto, la función de demanda es p =
y la función de oferta es p =

Si el punto de equilibrio del mercado es (60,109.76),encuentre el superávit del consumidor y el superávit del productor.

INTEGRALES IMPROPIAS Y SUS APLICACIONES
Ya vimos que se puede encontrar el valor presente de un flujo continuo de ingreso en un número fijo de años usando una integral definida. Cuando se extiende esta noción a un intervalo tiempo indefinido, el resultado se llama
valor del capital
del flujo de ingreso y está dado por:

Valor del capital:

donde f(t) es la tasa de flujo anual en el momento t, y r es la tasa de interés anual compuesto continuamente. Esto se denomina

integral impropia

1. Si f es continua sobre [a, ∞), entonces:

2. Si f es continua sobre (-∞, b], entonces:

3. Si f es continua sobre (-∞,∞), entonces:

EJEMPLOS:
Calcule las siguientes integrales impropias, si convergen.

1.


2.





3.

4.
EJEMPLO:

Suponga que una organización quiere establecer un fondo fiduciario que proporcionará un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el momento t dada por f(t)= 10000 dólares al año. Si la tasa de interés permanece constante igual a 10% compuesto continuamente, encuentre el valor del capital del fondo.






FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD
Si f(x) ≥ 0 para todas x, entonces f es una función de densidad de probabilidad para una variable aleatoria continua si y sólo si

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