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LÓGICA Y GEOMETRÍA DINÁMICA

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by

ÓSCAR MOLINA

on 30 September 2014

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Transcript of LÓGICA Y GEOMETRÍA DINÁMICA

Óscar Molina
ojmolina@pedagogica.edu.co
Carmen Samper
Leonor Camargo
Patricia Perry
No es necesario hacer un tratamiento especial de aspectos relacionados con la lógica (Inglis y Simpson, 2008).
Algunas posturas en contra
El estudio de elementos lógicos elementales no tiene efectos significativos en los resultados de tareas de razonamiento lógico o en la habilidad para hacer demostraciones en geometría (Deer, 1969, citado en Epp, 2003)
No es claro qué beneficio se desprende de enseñar lógica formal a estudiantes o a futuros profesores, en particular, porque los matemáticos tienden a admitir que rara vez usan la lógica formal en sus investigaciones (Hanna y de Villiers, 2008, p. 331)
Es importante un curso para aprender a construir demostraciones en el que los asuntos de lógica se aborden cuando al revisar las demostraciones de los estudiantes se vea clara la pertinencia de tratarlos (Selden y Selden, 2008)
Epp (2003) propone un curso cuyo objetivo es desarrollar las habilidades de razonamiento de los estudiantes; se trabajan fundamentos que proporcionan un marco conceptual para poder trabajar con cierta autonomía posteriormente. El tratamiento de estos se haga en conexión con el lenguaje y en situaciones matemáticas y cotidianas.
Cheng et al., 1986, y Mueller, 1975 (citados en Epp, 2003) abogan porque se desarrolle como unidad temática en los cursos de una disciplina específica, como la geometría, de donde se extraen ejemplos concretos para explicar principios lógicos.
Algunas posturas a favor
Potencial de SGD
Visualizar representaciones de figuras geométricas, no solo desde el punto
de vista puramente perceptual, sino también por las posibles asociaciones que se pueden establecer entre propiedades que determinan el objeto representado (determinación de invariantes bajo el arrastre).
Se constituye en instrumento con el cual el contexto interno del aprendiz se puede hacer explícito y puede ser compartido con otros (Olivero, 2002)
La revisión de la literatura nos hace suponer la pertinencia de la geometría dinámica como instrumento para sacar a la luz aspectos problemáticos relacionados con el aprendizaje de la lógica, favorecer la construcción de significados asociados a elementos de la lógica, y comprender el trasfondo lógico de la argumentación deductiva, es decir, entender cómo se concluyen propiedades a partir de los datos dados
Asuntos problemáticos

Son acciones de los estudiantes que no obedecen a conceptos o procedimientos matemáticos institucionales, o a las normas sociomatemáticas establecidas para el funcionamiento en el aula.

comprensión y manejo del enunciado condicional
:
Dependencia
Condicional equivalente a su recíproca
Negación de proposiciones
Nuestra propuesta pretende:

Aclarar la estructura lógica de las proposiciones.

Enfatizar en la realización de acciones de carácter heurístico para favorecer la construcción de conjeturas o contraejemplos.

Identificar el papel que juegan las condicionales y las proposiciones que las componen en la construcción de demostraciones formales.
Se tuvo en cuenta la propuesta de Durand-Guerrier (2003):

Sugiere formular proposiciones abiertas que exijan buscar dominios en los que una afirmación es verdadera.

Se puede aprovechar el caso en el que se quiere que el consecuente de una condicional sea verdadero para suscitar una investigación acerca del dominio en el que la condicional sería teorema. Por tanto, si en los cursos de matemáticas se aceptan proposiciones contingentes, aquellas para las cuales no puede decidirse su valor de verdad, se abre un panorama rico en posibilidades de análisis.
Estudie la relación entre
tipo de cuadrilátero
y la propiedad
una diagonal del cuadrilátero biseca a la otra
.

a) Describa brevemente su construcción y proceso de exploración.
b) Escriba una conjetura.
SITUACIÓN 1
CONDICIONALIDAD LÓGICA
GEOMETRÍA
DINÁMICA

Y
SU ARTICULACIÓN PARA APRENDER A CONJETURAR
PROYECTO "FORTALECIMIENTO DE LOS PROFESORADOS DE MATEMÁTICAS" - REDES VII
CONJETURAS GRUPO

p:
Si el cuadrilátero es
un rectángulo
ENTONCES
q:

las diagonales se bisecan y son congruentes.

r:
Si el cuadrilátero es
un rombo
ENTONCES
t: las diagonales se bisecan y son perpendiculares.

CONJETURAS CORRECTA SEGÚN PROCESO DE CONSTRUCCIÓN
:

q:
Si en un cuadrilátero
las diagonales se bisecan y son congruentes
ENTONCES
p: es un rectángulo

t:
Si en un cuadrilátero
las diagonales se bisecan y son perpendiculares
ENTONCES
r: es un rombo
ASUNTOS ASOCIADOS
AL PROBLEMA
SOBRE LA DEPENDENCIA
SOBRE LA EQUIVALENCIA
SOBRE DEPENDENCIA
SOBRE EQUIVALENCIA
Con geometría dinámica, busque ejemplos de figuras que no son cometa y justifique su respuesta.
SITUACIÓN 2
LO ANTERIOR ES UN EJEMPLO DONDE
0


n

NO ES EQUIVALENTE A
n
o

UNA BUENA EXPLORACIÓN EN SGD PERMITE EVIDENCIAR UNA
PROPIEDAD MÁS
EN LA PROPOSICIÓN COMPUESTA
o
(
o')
PARA QUE


n
o'

SEA VERDADERA:

n:
SI
EL CUADRILÁTERO ES UNA COMETA
,
ENTONCES
o': EN ÉL
LA RECTA
QUE CONTIENE A UNA DE SUS DIAGONALES BISECA A LA OTRA Y DICHA RECTA ES PERPENDICULAR A LA DIAGONAL
CONJETURA ESTUDIANTE

o:
SI
EN UN CUADRILÁTERO UNA DE SUS DIAGONALES BISECA A LA OTRA Y SON PERPENDICULARES,
ENTONCES
n:

EL CUADRILÁTERO ES UNA COMETA

o
n

¿Es verdadera
n

o
?

n:
SI
EL CUADRILÁTERO ES UNA COMETA
,
ENTONCES
o:

EN ÉL UNA DE SUS DIAGONALES BISECA A LA OTRA Y SON PERPENDICULARES
COMENTARIOS FINALES

Se ha mostrado cómo el grupo AEG cree que debe ser el estudio de la lógica en la formación de los estudiantes de la Licenciatura en Matemáticas.
La lógica se trae a colación en los momentos en que su uso ayuda aclarar conceptos de la lógica misma, y también conceptos y procesos de la geometría.
Se ha mostrado que el uso de geometría dinámica la convierte en un artefacto potente para estudiar asuntos relativos a la lógica.

En particular, se puede estudiar:
la negación de una proposición
hacer evidente relaciones de dependencia
relación entre la condicional y las proposiciones asociadas a ésta (equivalencia, inversa, etc.)
REFERENCIAS

Bartolini Bussi, M.G. y Mariotti, M.A. (2008). Semiotic mediation in the mathematics classroom: Artifacts and signs after a Vygotskian perspective. En L.D. English (Ed.), Handbook of international research in mathematics education (pp. 746-783). New York: Routledge.

Durand-Guerrier, V. (2003). Which notion of implication is the right one? From logical considerations to a didactic perspective. Educational Studies in Mathematics, 53(1), 5-34.
Epp, S.S. (2003). The role of logic in teaching proof. American Mathematical Monthly, 110(10), 886-899.

Healy, L. (2000), Identifying and explaining geometrical relationship: Interactions with robust and soft Cabri constructions. En T. Nakahara y M. Koyama (Eds.), Proceedings of the 24th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (vol. 1, pp. 103-117). Hiroshima, Japón: Universidad de Hiroshima.
Inglis, M. y Simpson, A. (2009). Conditional inference and advanced mathematical study: Further evidence. Educational Studies in Mathematics, 72(2), 185-198.

Jones, K. (2000). Providing a foundation for deductive reasoning: Students’ interpretation when using dynamic geometry software and their evolving mathematical explanations. Educational Studies in Mathematics, 44(1-3), 55-85.
Olivero, F. (2002). The proving process within a dynamic geometry environment. Tesis doctoral no publicada. University of Bristol, Graduate School of Education.

Perry, P., Camargo, L., Samper, C. y Rojas, C. (2006). Actividad demostrativa en la formación inicial del profesor de matemáticas. Bogotá: Fondo Editorial de Universidad Pedagógica Nacional.

Samper, C., Perry, P., Echeverry, A. y Molina, Ó. (2008). Aprendizaje de la demostración en geometría euclidiana con el apoyo de un programa de geometría dinámica. Reporte de investigación no publicado. Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá, Colombia.

Selden, A. y Selden, J. ( 2008). Understanding the proof construction process. En F.L. Lin, F.J. Hsieh, G. Hanna y M. de Villiers (Eds.), Proceedings of the ICMI Study 19 conference: Proof and Proving in Mathematics Education (vol. 2, pp. 196-201). Taipei, Taiwan: The Department of Mathematics, National Taiwan Normal University Taipei.
El proceso de construcción y exploración del grupo:

1. Construyen segmentos tal que uno biseque a otro.
2. Construyen cuadrilátero tal que dichos segmentos son diagonales de un cuadrilátero.
3.
Arrastran hasta que las diagonales se bisecan y son congruentes
.
4.
Toman medidas de ángulos para determinar que el cuadrilátero es rectángulo
. Miden lados también.

CONJETURA:

En un rectángulo
, las diagonales se bisecan y son congruentes.

5.
Arrastran hasta que diagonales son perpendiculares
.

6.
Determinan que el cuadrilátero es rombo
.

CONJETURA:

En un rombo
, las diagonales se bisecan y son perpendiculares.


Responda SÍ, NO o NO SE SABE:
Dado que un cuadrilátero tiene exactamente dos pares de lados adyacentes congruentes. ¿Es el cuadrilátero una cometa?
SITUACIÓN 3
ASUNTO: NEGACIÓN
CONTRAEJEMPLOS
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