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MÁXIMOS Y MÍNIMOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

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by

Indira Arteaga

on 27 June 2015

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Transcript of MÁXIMOS Y MÍNIMOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

MÁXIMOS Y MÍNIMOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
HISTORIA DEL MÉTODO DE LAGRANGE
El método Lagrange (también conocido como multiplicadores Lagrange) lo propuso Joseph Louis Lagrange (1736-1813), un matemático nacido en Italia. Sus multiplicadores Lagrange tienen aplicaciones en una variedad de campos, incluyendo el físico, astronomía y económica.
MÉTODO DE LAGRANGE
El método de los Multiplicadores de Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones
EJEMPLO 1
Halla los extremos de la función bajo la restricción x + y = 1
EJEMPLO 2
UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGO

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA PROFESIONAL INGENIERÍA CIVIL

CURSO:

MATEMÁTICA III

DOCENTE:

CHAVEZ MARTINEZ, LUCY

ALUMNOS:


ALCANTARA NORIEGA ,DIANA

ARTEAGA DOMINGUEZ ,INDIRA

CISNEROS GERVACIO, RENATO

NERI DIAZ , BRAYAN

ORDINOLA PINTADO SHEYLA

Ejemplos
Este método reduce el problema restringido con “n” variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente.
Donde λ es una constante de proporcionalidad.


Esta elegante condición corresponde exactamente al Método de Lagrange para encontrar máximos y mínimos de una función f (x, y) sujeto a la restricción g(x,y) = 0
a) Construya una nueva función

f* (x, y) = f (x, y) - λ g (x, y), donde λ es una constante (multiplicador de Lagrange), hasta aquí desconocida.

b) Extremice esta nueva función, considerando las variables sin restricción, es decir:
𝛻f *= (x, y)= 0

Las ecuaciones obtenidas serán funciones de las coordenadas x e y del parámetro λ .


c) Use la ecuación de restricción g (x, y) = 0 para determinar λ.

Este método es fácil de aplicar y fácil de generalizar a un número mayor de variables y de restricciones.

solución
Hallar los extremos de la función f(x,y) = x + 2y con la condición
En la figura se muestra una función con un máximo bien notorio. Las curvas de nivel indican los puntos donde la función tiene un valor dado. El gradiente de la función en un punto dado tiene dirección perpendicular a la curva de nivel que pasa por ese punto. En el máximo, la curva de nivel degenera en un solo punto. En tal caso, el gradiente es cero: a partir de ese punto no hay ninguna dirección hacia donde la función aumente
EJEMPLO 3
Igualamos xy


EJEMPLO 4
Determine los valores máximos y mínimos de la f(x,y,z) = x + 2y + 3z sobre la elipse dada con la intersección en el cilindro
y el plano y + z = 1
Solución:

Reemplazando obtenemos:
En 3 dimensiones

Si queremos encontrar los extremos de f(x,y,z), sujeto a g(x,y,z)=0
Esto se generaliza en forma muy simple:
1. Ahora trabajamos en el espacio XYZ en vez del plano XY

2. Ahora f(x,y,z) se puede representar en el espacio XYZ por superficies de nivel, donde cada superficie es el lugar de puntos donde la función tiene un valor dado. Tal como las curvas de nivel en dos dimensiones, las superficies de nivel resultan como hojas paralelas en cada vecindad, y el gradiente de la función es un vector que apunta normalmente a las hojas en la dirección en la que la función aumenta.

3. Ahora, la función de restricción es una superficie, que corresponde a una de las superficies de nivel de la función g x( x,y,z ) = 0 g( x,y,z).

4. Claramente, el extremo de la función f sujeta a la restricción g = 0 ocurre donde el gradiente de f es perpendicular a la superficie g = 0, es decir, nuevamente los vectores gradiente de f y g son paralelos.


APLICACIONES:

Maximizar ingresos
Ejemplo:

BIBLIOGRAFÍA
Una compañía planea gastar 10.000 dólares en publicidad. Cuesta 3.000 dólares un minuto de publicidad en la televisión y 1.000 dólares un minuto de publicidad en la radio. Si la empresa compra x minutos de comerciales en la televisión e y minutos de comerciales en la radio, su ingreso, en miles de dólares, está dado por f(x, y)= - 2χ² - y² + xy + 8x + 3y ¿Cómo puede la empresa maximizar su ingreso?

Solución:
Se tiene Max f(x,y) = - 2χ² - y² + xy + 8x + 3y
y la restricción 3x + y = 10

Entonces L(x ,y ,λ ) = - 2χ² - y² + xy + 8x + 3y + λ(10 - 3x - y) Hacemos

Obsérvese que 10 - 3x -y = 0 se convierte en la restricción 3x + y = 10.
La ecuación (1) da y = 3λ −8 + 4x y la ecuación (2) da x = λ − 3+ 2y
Así, y = 3λ −8 + (4 λ − 3+ 2y) = 7λ − 20 +8y, o






Sustituyendo (4) y (5) en la (3), obtenemos, o 4λ −1 = 0 ⇒ λ=1/4 . Entonces (4) y (5) nos dan:




El hessiano para f (x, y) es:









Ya que cada mejor principal de primer orden es negativo, y H 2 (x, y) = 7 > 0, f (x, y) es una función cóncava. La restricción es lineal y, por lo tanto da la solución óptima para el programa no lineal.
Así, la empresa tendría que comprar 69/28 minutos de tiempo de televisor y 73/28 minutos de tiempo de radio. Ya que l = ¼ , el gasto de un D extra (en miles) (para un D pequeño) aumentaría los ingresos de la empresa en aproximadamente 0.25 D dólares (en miles).
En general, si la empresa tiene a dólares para gastar en la publicidad, se puede demostrar que:





Vemos que si gasta más dinero en la publicidad, el incremento en el ingreso por
cada dólar adicional para la publicidad se hace más pequeño.

CAMPO DE APLICACIÓN

OBJETIVOS DEL MÉTODO DE LAGRANGE
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