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Geometría plana. Dibujo técnico

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María Rodríguez Andrade

on 22 February 2013

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Geometría plana Introducción Geometría analítica Geometría (del griego geo, “tierra”; metrein, “medir”), rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometría empírica, que floreció en Sumeria y Babilonia y en el Antiguo Egipto, fue refinado y sistematizado por los griegos.
Los egipcios, tenían unos conocimientos matemáticos considerablemente avanzados. Sin llegar a la madurez que más adelante tendrían los griegos, los egipcios supieron solucionar los problemas que se les planteaban
 
Sus cálculos no eran abstractos, buscaban lo más práctico aunque no tuvieran la resolución y la reflexión teórica que después alcanzarían los griegos. Al contrario que a los matemáticos griegos, no les preocupó la resolución teórica ni la reflexión sobre problemas matemáticos (numéricos, aritméticos o geométricos), sino su inmediata aplicación práctica. Pero, sin embargo, fueron precursores. Los más importantes matemáticos griegos viajaron por Egipto y Babilonia aprendiendo de estos pueblos. Geometría en Egipto Segmento: recta delimitada por sus extremos Operaciones gráficas con segmentos La contribución de los griegos a las Matemáticas constituye el mayor avance de esta ciencia en el periodo comprendido entre la Prehistoria y el Renacimiento.
Los griegos, se preocuparon por reflexionar sobre la naturaleza de los números, sobre la naturaleza de los "objetos" matemáticos (geometría). Convirtiendo las Matemáticas en una ciencia racional y estructurada, con propiedades que se demuestran. Geometría en Grecia El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado El Discurso del Método, publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.
Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades de las figuras geométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro. Tipos Concatenados
Consecutivos
Nulos Operaciones Suma: dos segmentos se llevan uno a continuación de otro. Resta: restar de un segmento otro de igual o menor valor. Multiplicación: llevar un segmento tantas veces como marque el multiplicando. Mediatriz: recta que pasa por el punto medio del segmento Proporcionalidad directa Segmentos irracionales http://epvdibujo.blogspot.es/img/mediatriz.gif Proporción áurea Euclides: "un segmento recto ha sido dividido en dos partes, de modo que una de ellas es la media proporcional entre todo el segmento y la parte restante." Rectángulo áureo Triángulos Triángulo egipcio Triángulo rectángulo cuyos lados tienen longitudes 3, 4 y 5 o sus proporciones. Polígono formado por tres rectas que se cortan dos a dos. Tipos Según longitud de los lados:
Equilátero
Isósceles
Escaleno
Según amplitud de los ángulos:
Rectángulo
Obtusángulo
Acutángulo Propiedades Suma de los ángulos siempre es 180º
A mayor lado, se opone mayor ángulo
Un lado del triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia
Su un triángulo tiene 2 lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales. Rectas y puntos notables Aunque los griegos no fueron los primeros investigadores de esta rama de las matemáticas, sí fueron los que más hincapié hicieron en el desarrollo de esta disciplina y por lo tanto tuvieron el privilegio de darle el nombre.
 
Para conocer el origen del estudio geométrico, nos tenemos que remontar milenios atrás.
 
Aunque la geometría fue objeto de estudio por parte culturas anteriores a la escritura, nos centraremos en las principales culturas que desarrollaron esta disciplina y dejaron constancia para el estudio y desarrollo de futuras generaciones.
 
  Geometría en Babilonia Los Babilonios vivieron en Mesopotamia, en unos claros de tierras fértiles entre los ríos Tigris y Éufrates, hacia finales del milenio IV antes de Cristo.
Desarrollaron una forma abstracta de escritura basada en símbolos cuneiformes. Sus símbolos fueron escritos en tablas de arcilla mojada cocidas al sol. Miles de estas tablillas han sobrevivido hasta nuestros días.
Gracias a ello, se ha podido conocer, entre otras cosas, gran parte de las matemáticas babilónicas. En cuanto a la geometría conocían el Teorema de Pitágoras y las propiedades de los triángulos semejantes; en álgebra hay problemas de segundo, tercero e incluso de cuarto grado. También resolvían sistemas de ecuaciones.

Una traducción de una tabla Babilónica, preservada en el Museo Británico dice lo siguiente:  
 "4 es la largura y 5 la diagonal. ¿Qué es la anchura? Su tamaño no es conocido. 4 veces 4 es 16.5 veces 5 es 25. Si se toma 16 de 25 queda 9. ¿Cuántas veces tomaré en orden a 9? 3 veces 3 es 9. 3 es la anchura"
Este problema de los Babilonios se basa en el teorema de Pitágoras porque: Dominaban perfectamente los triángulos gracias a los anudadores.
Los anudadores egipcios hacían nudos igualmente espaciados que servían para medir. Fueron los primeros en observar que uniendo con forma de triángulo, cuerdas de ciertas longitudes, se obtiene un ángulo recto. También conseguían mediante estos nudos triángulos rectángulos. Pitágoras recogió toda esta experiencia geométrica para su teorema.

Es decir, los egipcios ya conocían la relación entre la hipotenusa y los catetos en un triángulo rectángulo. Utilizaban el más tarde se conoció como Teorema de Pitágoras, pero de forma práctica, no sabían demostrarlo. Cuadrilateros Polígonos compuestos por 4 lados rectos, 4 vértices, 2 diagonales y 4 ángulos que suman 360º Tipos Convexos: todos los ángulos interiores son menores de 180º
Cóncavos: al menos uno de sus ángulos es mayor de 180º Clasificación Paralelogramos
Rectángulos
Cuadrado
Rectángulo
Oblicuángulos
Rombo
Romboide
Trapecios
Rectángulo
Isósceles
Escaleno
Trapezoide
Simétrico o deltoide
Asimétrico Entre las fórmulas que tenían para medir áreas, se pueden citar las de superficie del cuadrado (a partir del triángulo), del rectángulo, del rombo y del trapecio. En cuanto al área del círculo utilizaron una fórmula que daba a ∏ un valor bastante aproximado.
En el Papiro de Rhind encontramos: Los papiros nos han dejado constancia de que los egipcios situaban correctamente tres cuerpos geométricos: el cilindro, el tronco de la pirámide y la pirámide. La utilidad de cálculo volumétrico resulta fácil: se precisaba, entre otras cosas, para conocer el número de ladrillos necesarios para una construcción. 256/81=3,16=πpi La Escuela Jónica Fundada por Tales de Mileto (en torno al 600 a.C.), fue la primera en comenzar el estudio científico de la Geometría. Se le atribuyen las primeras demostraciones de teoremas geométricos mediante el razonamiento lógico. Escuela Pitagórica Fundada por Pitágoras (en torno al 550 a.C.) colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios. La geometría demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el matemático griego Euclides, en su libro Los elementos. El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto básico de geometría hasta casi nuestros días.
 
Para finalizar debemos hacer mención a Arquímedes (285 a.C.). Fue el mayor matemático de la antigüedad. Se le atribuye; el cálculo de ∏ , por aproximaciones sucesivas, la determinación de los volúmenes del cilindro y de la esfera, la cuadratura del segmento de la parábola, el empleo de los momentos estáticos y de los centros de gravedad, etc... Estos descubrimientos abrieron el camino a la mecánica y al cálculo integral. Segunda Escuela de Alejandría Después de un largo intervalo durante el cual los progresos son escasos, surge otro fructífero periodo debido a la Segunda Escuela de Alejandría (100-300 d.C.) en la que destacan: Nicóman, Ptolomeo (con su célebre sistema del mundo), Diofanto (con sus grandes investigaciones aritméticas) y Pappus (con su obra "Colección").
 
A partir de este momento, la ciencia helénica comienza a declinar. En occidente la huella de la cultura griega fue casi inexistente durante muchos años. El interés de los romanos por las matemáticas griegas se redujo a las aplicaciones prácticas de las mediciones de terrenos y cálculos y las obras griegas no se tradujeron al latín. Fue el mundo árabe el que recogió el testigo de las matemáticas griegas.

Tres famosos problemas de construcción que datan de la época griega se resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemáticos que intentaron resolverlos: la duplicación del cubo (construir un cubo de volumen doble al de un determinado cubo), la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con área igual a un círculo determinado) y la trisección del ángulo (dividir un ángulo dado en tres partes iguales).Ninguna de estas construcciones es posible con la regla y el compás, y la imposibilidad de la cuadratura del círculo no fue finalmente demostrada hasta 1882. Geometría Contemporánea La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes. Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones. Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareció en el siglo XIX. En la década de 1970 el concepto se desarrolló como la geometría fractal. http://www.monografias.com/trabajos-pdf2/geometria/geometria.pdf

http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/indice.ht
http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/babilonia/babilon.htm
http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/babilonia/tablillasbabilonicas.htm
http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/egipto/egipt.htm
http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/egipto/papiros.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo
http://www.vitutor.net/2/1/16.html
http://www.dibujotecnico.com/saladeestudios/teoria/gplana/triangulos/Elementos_notables.php
http://recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_didacticos/eso/actividades/aritmetica/irracionales/metalicos1/actividad.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Rect%C3%A1ngulo_dorado
http://www.slideshare.net/carlaspatricias/trabajo-final-nmero-de-oro-grupo-4-14376802
http://www.pauloporta.com/Fotografia/Artigos/epropaurea1.htm
http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/Curiosid/Rc-25/RC-25.htm
http://definicion.de/segmento/
http://es.wikipedia.org/wiki/Segmento
http://www.vitutor.com/geo/eso/el_3.html
http://ibiguri.wordpress.com/segmentos/1-1/
http://www.librosvivos.net/smtc/PagPorFormulario.asp?TemaClave=1036&est=1
http://www.areadedibujo.es/documentos/1-bachillerato/geometria-plana/gp-segmentos-02.pdf
http://www.google.es/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CC8QFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.areadedibujo.es%2Fdocumentos%2F1-bachillerato%2Fgeometria-plana%2Fgp-segmentos-02.pdf&ei=W5QkUa2qHc-FhQfw04GYBg&usg=AFQjCNE4RKuC4Ws4RNgWknvYw9Av2MDXuw&bvm=bv.42661473,d.d2k
http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/cuadri2.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadril%C3%A1tero
http://recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_didacticos/primaria/actividades/geometria/poligonos/cuadrilateros/actividad.html
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