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수학2 2단원 삼각함수

삼각함수에 대한 개념 및 원리를 이해하고 그에 따른 문제들의 해법을 익혀 문제해결력을 기르기 이해 제작하는 학습용 미디어 자료
by

Kang Taek Lee

on 16 September 2012

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Transcript of 수학2 2단원 삼각함수

수ll 2단원 삼각함수 <차례> § 1. 삼각함수 § 2. 삼각함수의 덧셈정리 § 3. 여러가지 공식 § 4. 삼각방정식 § 1. 삼각함수의 정의 예제 문제 풀어보기 ㄱ. 까먹었을까?? - 사분면에 따른 삼각함수의 부호 ㄴ. 까먹었을까?? - 특수각의 삼각함수 값 θ 가 제3사분면의 각이고 secθ = 일 때, cosecθ, cotθ 의 값을 구하여라. * θ 가 3사분면의 각이므로 cosecθ<0, cotθ>0 이다. 5 12 13 문제에서 준 secθ 를 통해, 왼쪽과 같은 삼각형을
가정할 수 있다. 왼쪽의 삼각형을 통해 cosecθ, cotθ 의 값을 구해보면

cosecθ = , cosθ 이다. 하지만, 위의 *에서 제한 한 범위를 맞추어 답을 정한다. cosecθ = , cotθ= § 2. 삼각함수의 덧셈정리 cot²θ + 1 = cosec²θ식을 얻게 될 수 있다. ㄷ. 까먹었을까?? - 삼각함수 사이의 관계 * sin²θ +cos²θ *식의 양변을 sin²θ 로 나누어 주게 되면, 1 + tan²θ = sec²θ 의 식을 얻게 될 수 있고, *식의 양변을 cos²θ 로 나누어 주게 되면, ㄹ. 까먹었을까??
-삼각형의 넓이 구하기 △ABC의 넓이를 S라고 하면 ㅁ. 까먹었을까??
- 사인법칙과 코사인법칙 삼각형 ABC에 있어서 ∠A,∠B,∠C의 크기를 각각 A,B,C, 변 BC, CA, AB의 길이를 각각 a,b,c라 하면 A B C b a c <사인법칙> <제2 코사인법칙> <제1 코사인법칙> a = b·cosC + c·cosB

b = c·cosA + a·cosC

c = a·cosB + b·cosA a² = b² + c² - 2bc·cosA

b² = c² + a² - 2ca·cosB

c² = a² + b² - 2ab·cosC sin(α ± β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ

cos(α ± β) = cosα·cosβ ∓ sinα·sinβ 아쉽지만.. 증명은 너무 길어 생략 하겠습니다.. A B C a b c S = a·b·sinC = b·c·sinA = a·c·sinB 예제 문제 풀어보기 sinα = , cosβ = 일때, sin(α - β)의 값을 구하여라. (단, <α<π, <β<2π) sin(α - β) =sinα·cosβ - cosα·sinβ

= · - · * sinβ = ,cosα = sin²α + cos²α = 1

sinα = 이므로 cos²α = ,

cosα = ± 이다. 하지만, α는 2사분면의

각이므로 cosα = sin²β + cos²β = 1

cosβ = 이므로 sin²β = ,

sinβ = ± 이다. 하지만, β는 4사분면의

각이므로 sinβ = sin(α - β) = 위에서는 푼 문제는 sin에 관한 문제뿐이지만,
cos과 tan에 관한 문제도 교과서에 있으니
꼭 풀어 보세요!!! <삼각함수의 합성> f(χ) = a·sinχ +b·cosχ 일 때,
f(χ)의 최댓값, 최솟값, 주기 구하기 까먹었을까??
- 삼각함수의 최댓값, 최소값, 주기 f(x) = a·sin(bx) , g(x) = a·cos(bx) h(x) = tanx f(x), g(x)의 최댓값 = l a l
최솟값 = - l a l

주기 = ① ② h(x)의 최댓값 = 존재하지 않는다.
최솟값 = 존재하지 않는다.

주기 = y χ X(a, b) Q(0, b) P(a, 0) 피타고라스 정리에 의해
= sinα =

cosα = α f(χ)를 로 묶어 주면,

f(χ) = ( ·sinχ + ·cosχ)

= (cosα·sinχ + sinα·cosχ)
= (sinχ·cosα + cosχ·sinα) f(χ) = ·sin(χ+α) * 최댓값 =
최솟값 = -
주기 = π 예제 문제 풀어보기 다음 삼각함수를 r·sin(θ+α)의 꼴로 변형하여라. (1) sinθ + cosθ

= sin(θ+ )

= sin(θ+ ) (2) sinθ + cosθ

= sin(θ + )

= sin(θ + )

=2sin(θ + ) § 3. 여러가지 공식 (1) 배각의 공식 배각의 공식은 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 유도 할 수 있다. ①sin2α = sin(α + α) = sinαcosα + cosαsinα = 2sinαcosα ②cos2α = cos(α + α) = cosα·cosα - sinα·sinα = cos²α - 2sin²α
= 2cos²α - 1
= 1 - 2sin²α ③tan2α = tan(α + α) = sin2α = 2sinα·cosα
cos2α = cos²α - 2sin²α
= 2cos²α - 1
= 1 - 2sin²α
tan2α = 외






!! 예제 문제 풀어보기 α는 제 4사분면의 각이고 cosα = 일때,
다음 삼각함수의 값을 구하여라. sinα = , tanα = tanα =


=


= sin²α + cos²α = 1

cosα = 이므로, sin²α =

sinα = ± . 하지만, α는 제 4사분면

의 각이므로 sinα = (1) sin2α

= 2sinα·cosα

= 2· ·


= (2) cos2α

= 2cos²α - 1

= 2· - 1


= (3) tan2α

=

=


= § 3. 여러가지 공식 (2) 반각의 공식 반각의 공식은 cos의 배각의 공식을 통해 유도 할 수 있다. ① cos2α = 1 - 2sin²α
2sin²α = 1 - cos2α

sin²α = ② cos2α = 2cos²α - 1
2cos²α = 1 + cos2α

cos²α = sin²α =

cos²α =

tan²α = 외






!! tan²α =


=


= 예제 문제 풀어보기 θ = 일 때, sinθ, cosθ, tanθ의 값을 각각 구하여라. sin²θ = =


sinθ = cos²θ = =


cosθ = tan²θ = = =


tanθ = But, θ는 제 1사분면의 예각이므로 모든 삼각함수의 값이 양수이다. sinθ = , cosθ = tanθ = O § 3. 여러가지 공식 (1) 곱을 합 또는 차로 sinα·cosβ = {sin(α + β) + sin(α - β)}


cosβ·sinα = {sin(α + β) - sin(α - β)}


cosα·cosβ = {cos(α + β) + cos(α - β)}


sinα·sinβ = - {cos(α + β) - cos(α - β)} 증명은 55p 참고^^ 증명은 교과서 55p 참고^^ § 3. 여러가지 공식 (2) 합 또는 차를 곱으로 sinA + sinB = 2sin ·cos


sinA - sinB = 2cos ·sin


cosA + cosB = 2cos ·cos


cosA - cosB = -2sin ·sin 예제 문제 풀어보기 다음 삼각함수의 값을 구하여라. (1) sin75° + sin15°

=2sin45°·cos30°

=2· · = (2) cos105° + cos15°

= 2cos60°·cos45°

=2· · = (3) sin10° + sin50° - sin70°

= 2sin30°·cos20° - sin70°

=2 · ·cos20° - sin70° = cos20° - sin70°

= cos( - 70°) - sin70°

= sin70° - sin70° = 0 까먹었을까?? sin과 cos의 변형 sin(π + θ) = -sinθ

cos(π + θ) = -cosθ

sin( + θ) = cosθ

cos( + θ) = -sinθ (단, θ는 예각) § 4. 삼각방정식 전까지는 삼각함수의 미지수 각도가 0부터 2π까지로 제한된 특수해를 구했다. 이번 단원에서는 미지수 각도에 제한범위가 없는 일반해를 구해보자. n이 임의의 정수일때,
① sinχ = a(l a l ≤ 1)의 특수해를 α라고하면,

χ = nπ + (-1)ⁿ·α

② cosχ = a(l a l ≤ 1)의 특수해를 α라고하면,

χ = 2nπ ± α

③ tanχ = a(l a l ≤ 1)의 특수해를 α라고하면,

χ = nπ + α 정경희 선생님께서 칠판에 그려 주셨던 그래프를 생각하며 일반해 공식을 외웁시다~ 예제 문제 풀어보기 -2π ≤ χ ≤ 2π 에서 다음 삼각방정식을 풀어라. (1) 2sinχ + =0

sinχ = - 이 식의 특수해는 -

χ = nπ + (-1)ⁿ·(- ) n = -1, 0, 1,2 일 때,

χ = - , - , , (2) tanχ - = 0

tanχ = 이 식의 특수해는

χ = nπ + n = -2, -1, 0, 1 일 때,

χ = - , - , ,
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