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& Koch-Schneeflocke

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by

Falk Frenzel

on 30 January 2014

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Transcript of & Koch-Schneeflocke

Ähnlichkeitsdimension

Hausdorff-Dimension




Box-(Counting)-Dimension
Die Koch-Kurve
& Koch-Schneeflocke

Gliederung
1. Helge von Koch
2. Eigenschaften und Beweise der Koch-Kurve
2.1 Konstruktionen
2.2 Längenberechnung
2.3 Flächenberechnung
2.4 Stetigkeitsbeweis
2.5 Beweis der Doppelpunktslosigkeit
2.6 Beweis der Jordan'schen Kurve
2.5 Beweis(e) der totalen Tangentenlosigkeit
2.6 Dimension
3. Eigenschaften der Koch-Schneeflocke
4. Variationen
5. Anwendungen

Helge von Koch
* 25. Januar 1870 in Stockholm
† 11. März 1924 in Danderyd

studierte Mathematik an der Universität Stockholm
schrieb seine Promotion über seine und Poincarès Erkenntnisse über Differentialgleichungen
1905: Professor an der Königl. Techn. Hochschule
1911: Professor an der Universität Stockholm
Theorie der unendlichen Matrizen und unendlichen Differntialgleichungen
Mitbegründer der Funktionalanalysis
arbeitete maßgeblich an der mathematischen Grundlage der Quantenmechanik mit
1. Konstruktion
2. Konstruktion
Längenberechnung
Stetigkeitsbeweis
1. Teil - Stetigkeit der Geradenstücke




2. Teil - Betrachtung Geradenstücke



3. Teil - Stetigkeit der 'Ecken'
über das Limes-Kriterium
Hilberts Axiomensystem der eukl. Geometrie

Axiome der Stetigkeit
V.2 - Axiom der linearen Vollständigkeit:

"Zu den Punkten einer Geraden können, bei Erhalt ihrer Anordnung und Kongruenz- beziehungen, keine weiteren Punkte hinzugefügt werden, ... "

Vollständigkeitssatz:

"Die Elemente der Geometrie bilden ein System, das bei Aufrechterhaltung sämtlicher Axiome zu keiner Erweiterung durch zusätzliche Punkte [...] mehr fähig ist."
Geradenstücke sind abgeschlossene Intervalle
das folgt aus der Definition der Koch-Kurve ( [0,1] )

nach der 1. Iteration folgende Intervalle [0,1/3],[1/3,1/2],[1/2,2/3],[2/3,1]
Flächenberechnung
Beweis der Doppelpunktslosigkeit
erfolgt intuitiv aus Kombination der beiden Konstruktionsvorschriften (KV)
nach KV 2 entfernt man stets Teile des umhüllenden Dreiecks, deshalb konvergiert diese Fläche gegen Null
da alle Dreiecke der Kette K
n
, bis auf zwei Punkte isoliert sind, können sich die nach KV 1 enstehenden Dreiecke nicht überlappen
diese Punkte sind allerdings keine Doppelpunkte, sondern gemeinsame, da es immer Eckpunkte sind und keine nach KV 1 'neu erzeugten'
Beweis Jordan'sche Kurve
Beweis der totalen Tangentenlosigkeit
Definition:
"Eine Kurve heißt in einem Punkt Po 'völlig tangentenlos', wenn die von Po aus gezogenen vorwärts genommenen Sekanten, für sich genommen, und ebenso die rückwärts, keiner Grenzlage annähern."

zz.:
zu jedem Kurvenpunkt Po auf den in dessen Nachbarschaft zwei Punkte P' und P'' folgen, so dass der Winkel <) P'PoP'' größer bleibt als eine angebbare endliche Größe

Voraussetzung:
die Koch-Kurve ist eine doppelpunktslose Jordan'sche Kurve
Dimension
Eigenschaften der Koch-Schneeflocke
Länge
umschlossener Flächeninhalt
Stetigkeit
Differenzierbarkeit
Variationen der Kochschneeflocke
Anwendungen
Fraktalantennen




Berechnungen von Küstenlinien


medizinische Anwendungen
(z.B. Berechung von Oberfläche und
Volumen der Lunge)
Variationen der Kochkurve
Quadratischer Typ 1:
Quadratischer Typ 2:
Erweiterung des quadratischen Typs 1:
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