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Copy of Fondos

fondos son bases para la preparación de sopas, salsas.
by

Alberto Domínguez Navarro

on 12 February 2015

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Transcript of Copy of Fondos

GEOMETRIA ANALITICA
Ecuaciones de la recta
Pendiente de una recta
Posición relativa
Distancias y ángulos

Objetivos.
aves
1,2 horas
Criterios de Evaluación
• Determinar el módulo, la dirección y el sentido de un vector, su equivalencia o no con otro vector, y calcular sus componentes.
• Sumar vectores, multiplicarlos por un número real y obtener combinaciones lineales de vectores, de forma gráfica.
• Determinar la relación de linealidad entre dos vectores.
• Obtener las coordenadas de un vector en una base cualquiera.
• Hallar el producto escalar de dos vectores de forma gráfica y analítica, y utilizar sus propiedades para resolver distintos problemas.
• Calcular la distancia entre dos puntos y el ángulo de dos vectores.
• Reconocer y calcular la ecuación vectorial de una recta.
• Determinar las ecuaciones paramétricas, vectorial, continúa, explicita, punto-pendiente y general de una recta.
• Distinguir si un punto pertenece o no a una recta dada.
• Determinar la posición relativa de dos rectas en el plano.
Vectores
fondos
bases para la preparación de sopas y salsas.

Circunferencia
Rectas perpendiculares
Posisicones relativas de dos rectas
Distacias entre rectas
Pendiente de una recta
Ecuación Vectorial.
Expresando la ecuación anterior en coordenadas
(x, y) = (x0, y0) + (u1, u2)
Ecuación Paramétrica
. Separando las componentes
x = x0 + u1
y = y0 + u2
Ecuación Continua
. Despejando en la expresión anterior el parámetro e igualando
x − x0 y − y0
--------- = --------
u1 u2
Observa que las tres ecuaciones anteriores muestran los mismos detalles de la recta, su punto y su vector direccional, pero escritas de forma diferente.
Ecuación General
. Operando la igualdad anterior, resulta
Ax + By + C = 0
también llamada ecuación general o implícita. El vector de la recta corresponde a u(−B,A)
ternera
3,4 horas
1- Utilizar los conceptos de vector: módulo, dirección y sentido.
2- Distinguir si dos vectores son equivalentes, y calcular los componentes de un vector, dados sus extremos.
3- Realizar operaciones de suma de vectores y producto por un número real, así como combinaciones lineales de vectores.
4- Distinguir si dos vectores en el plano son linealmente dependientes o independientes y si forman base, y obtener las coordenadas de un vector en una base.
5- Obtener el producto escalar de dos vectores, y aplicarlo al cálculo del módulo de un vector y del ángulo que forman dos vectores.
6- Reconocer y hallar la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas, la ecuación continua y la ecuación general de una recta.
7- Determinar la posición relativa de dos rectas en el plano.
Las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de primer grado
Rectas
Las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de segundo grado
Cónicas
Introducción
Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertas líneas y figuras geométricas aplicando técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas.
Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x, y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática.
Fue inventada por René Descartes y por Pierre Fermat, a principios del siglo XVII, observaron, y esto es crucial, que las ecuaciones algebraicas corresponden con figuras geométricas. Eso significa que las líneas y ciertas figuras geométricas se pueden expresar como ecuaciones y, a su vez, las ecuaciones pueden graficarse como líneas o figuras geométricas.
Rectas
Las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de primer grado
Cónicas
Las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de segundo grado
definición
Vectores equipolentes son aquellos que tienen el mismo módulo, dirección y sentido
Operaciones con vectores
- producto por escalar
- suma y resta de vectores
-combinación lineal de vectores
Producto por escalar
El producto de un número
a
por un vector u es otro vector libre representado por

u
Suma y resta de vectores
Combinacion lineal de vectores
Decimos que el vector v es
combinación lineal
del vector u si existe un escalar
a
con v =
a
· u también decimos que u y v son
dependientes
o proporcionales.
Si u y v no son dependientes decimos que son
independientes
.

Decimos que el vector w es
combinación lineal
de los vectores u y v si existen escalares
a
y
b
con
w =
a
·u +
b
·v
El vector
a
·u mantiene la direcci´on pero puede cambiar el sentido o la magnitud del vector u.
-Si
a
>0,
a
·u tiene el mismo sentido que u , y si
a
< 0 tienen sentido contrario.
-Si
a
> 1, el vector

u se dilata o alarga y si
a
< 1, el vector

u se contrae o acorta.
-El caso que
a
= 0, el vector
a
·u corresponde al vector nulo (0, 0)
La suma de los vectores libres u y v es otro vector libre
u + v
que se obtiene gráficamente, tomando representantes
de u y v con el mismo origen, y trazando la diagonal del paralelogramo que determinan.
La resta de los vectores libres u y v es otro vector libre definido por
u −v
la interpretación gráfica de la resta se muestra
en el dibujo. El vector resta u−v es la diagonal
del paralelogramo construido con u y −v.
Base
Decimos que los vectores u y v forman una base en el plano R2 si son linealmente independientes. Esto significa que cualquier vector w de R2 se obtiene por combinación lineal de u y v
Si el vector w se puede poner en combinación lineal de la base B={u, v} -> w= a·u + b·w.
Al par (a,b) se le denomina coordenadas de w respecto a la base B
Base Canónica
De entre todas las bases elegimos la base canónica determinada por los vectores i(1, 0) y j(0, 1). Así cualquier vector u(u1, u2) se pude expresar como.

(u1, u2) = u1 · (1, 0) + u2 · (0, 1)

u = u1 ·i + u2 ·j
Coordenadas cartesianas

Un
sistema de referencia
en el plano R2 esta formado por un punto fijo O (origen) y una base.

Mediante un sistema de referencia, a cada punto P se le asocia un vector OP. Las coordenadas de P son las coordenadas del vector OP respecto de la base {u,v}
Los números u1 y u2 por este orden son las componentes (coordenadas) del vector.
La magnitud o módulo del vector u(u1, u2) por el teorema de Pitágoras corresponde a

En el sistema de referencia cartesiano, las coordenadas del vector AB:
A(a1, a2) B(b1, b2)

AB = (b1-a1, b2-a2)
Coordenadas de un vector
Vectores paralelos sin tienen la misma dirección
Suma de vectores
u = (u1, u2) v=(v1,v2)

u+v = (u1+v1, u2+v2)
Resta de vectores
Producto por escalar
Operaciones con coordenadas
u = (u1, u2) v=(v1,v2)

u +v = (u1-v1, u2-v2)
u = (u1, u2) k

k· u = (k·u1, k·u2)
Producto escalar
Se define y se escribe el Producto escalar de dos vectores u y v al número que se obtiene de:
Expresión en coordenadas
Propiedades
Producto escalar es 0 cuando....
Producto escalar de un vector por si mismo...
Producto escalar conmutativo...
Producto escalar distributivo...
Ángulo entre vectores
Vectores perpendiculares
Un vector perpendicular a u = (u1, u2) es :

v = (-u2,u1)
cos(u,v) = u · v / | u |·| v |
U . V = u1 · (-u2) + u2 ·u1 = 0 => u y v perpendiculares
Distancia entre puntos
d(A, B)= |AB| = (x2-x1) + (y2-y1)
Punto simetrico
Las coordenadas del punto simétrico a A(x1,y1) con respecto a P(x2,y2) son

A' (2x2-x1, 2y2-y1)
Punto medio de un segmento
Las coordenadas del punto medio M de A(x1,y1) y B(x2,y2) son:

M(-------,--------)
A (x1,y1) B(x2,y2)
2
2
x1+x2 y1+y2
2 2
Rectas
Ecuación de la recta
La ecuación de una recta viene determinada por un punto A(x0,y0) y un vector direccional u = (u1,u2)
r = < A , u >
Un punto X pertenece a la recta r, observar el dibujo, si el vector AX es proporcional al vector u, es decir
AX = · u para algún
Siendo
OX =OA + AX
AX = OX − OA
OX − OA = u
X − A = u




se obtiene la ecuación : r
X = A + ·u
Dados dos puntos A(x0, y0) y B(x1, y1), el vector direccion es
AB(x1 − x0, y1 − y0)
La ecuación de r en forma continua
x − x0 y − y0
-------- = ---------
x1 − x0 y1 − y0
Despejando
y1 − y0
y − y0 = ----------· (x − x0)
x1 − x0
Se define la
pendiente
m de r al número
y1 − y0
m = ---------- = tan a
x1 − x0
La pendiente es una medida de la inclinaci´on de la recta respecto a la
parte positiva del eje Ox. La ecuación anterior se llama
punto-pendiente
y − y0 = m · (x − x0)
Y si se opera se obtiene la
ecuación explícita
y = mx + n
Rectas paralelas
Dos rectas r y s son paralelas si sus vectores direccionales u y v son proporcionales.
Teorema
Dos rectas r y s son paralelas si los coeficientes de sus ecuaciones son proporcionales.
r -> Ax+By+c=0
s -> A'x+B'y+c=0
A B
r||s <=> ----- =-----
A' B'
Teorema
. Dos rectas r y s son paralelas si tienen la misma pendiente.
r||s <=> m = m'
Dos rectas r y s son perpendiculares si sus vectores direccionales u y v son ortogonales o perpendiculares, es decir cuando el producto escalar es cero.
u · v = 0
Teorema
. Dos rectas r y s
Ax + By + C = 0
A'x + B'y + C' = 0
son perpendiculares si los coeficientes de sus ecuaciones verifican
r _|_ s <=> A·A' + B·B' = 0


Teorema
. Dos rectas r y s son perpendiculares si sus pendientes verifican la relación
r _|_ s <=> m · m' = -1
Distancia de dos puntos
Dados los puntos A(x0, y0) y B(x1, y1) definimos la distancia de A a B como el módulo del vector AB.
Distancia entre punto y recta
Dada la recta r: Ax + B y + C = 0 y el punto P(x0, y0) la distancia de P(x0, y0) a r viene dada por la expresión
|Ax0 + By0 +c |
d(P,r)= ----------------------
A + B
Distancia entre rectas
Si son coincidentes o secantes la distancia es cero, y si son paralelas se toma un punto de ellas y se calcula su distancia a la otra.
2
2
2
2
Ángulo entre rectas
El ángulo determinado por dos rectas r y s es el menor ángulo que forman las rectas al cortarse, coincide con el ángulo de sus vectores directores u y v.
Cónicas
“Las Cónicas” de Apolonio de Pérgamo (262-190 a. C), constaban de ocho libros. Esta obra es el resultado de estudiar las secciones de un cono a las que denominó cónicas.
Apolonio descubri´o que se obtenían al cortar mediante una superficie plana un cono circular en diversas posiciones.
Depende de cómo se corten, las secciones resultantes serán círculos, elipses, hipérbolas o parábolas.
Hay varias formas de estudiar las cónicas:
a) Se pueden estudiar como hicieron los griegos, en términos de intersecciones del cono con planos.
b) Se pueden estudiar como casos particulares de ecuaciones de segundo grado con dos variables x e y
Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0
c) Y como lugares geométricos de puntos que
cumplen cierta propiedad geométrica.
Circunferencia
Elipses
Hipérbolas
Parábolas
2
2
Una circunferencia es el lugar geométrico de los P(x, y) que equidistan de un punto fijo C llamado (centro)
d(P,C) = cte = radio
Sea P(x, y) un punto cualquiera verificando d(P,C) = r, siendo r el radio y C(x0, y0) el centro.
De la f´ormula de la distancia de dos
puntos se tiene

y elevando al cuadrado se tiene la ecuación de la circunferencia

Recta tangente a una circunferencia
Si desde un punto P(x, y) trazamos una recta t, será tangente a una circunferencia cuando la distancia del centro a la recta coincida con el radio.
• la recta es
tangente
si
d(C, t) = radio
• la recta se llama
exterior
si
d(C, r) > radio
• la recta se llama
secante
si
d(C, s) < radio
la intersecta en dos puntos A y B.
Una elipse es el lugar geométrico de los P(x, y) cuya suma
de distancias a dos puntos fijos F y F ' (focos) es constante.
d(P,F) +d(P,F ') = cte
Elipse
Elementos de una elipse
F y F ' son puntos fijos, los focos de la elipse.
La recta que contiene a los focos se llama eje focal.
A, A', b y B' son los vértices de la elipse.
El segmento AA' es el eje mayor y BB' el eje menor.
El punto de intersección de los ejes, es el centro de la elipse.
Situando el centro en el origen de coordenadas, se cumple que:
d(F , F ') = 2c
d(A, A') = 2a
d(B, B') = 2b
Propiedades de la elipse
La suma de las distancias desde un punto de la elipse a los focos es 2a
d(P, F) + d(P, F ') = 2a
La distancia desde los vértices B y B' a cada uno de los focos es a.
d(B, F) = d(B, F ') = a
En una elipse se cumple siempre a = b + c
2
2
2
Ecuación de la elipse
La ecuación reducida de una elipse cuando los focos están situados en el eje Ox y |PF| + |PF '| = 2a corresponde a:
x y
---- + ---- = 1
a b
2
2
2
2
Excentridad de la elipse
Llamamos excentricidad e de una elipse al cociente entre la distancia focal y el eje real.
c
e = ---- < 1
a
La excentricidad mide el grado de achatamiento de la elipse. Cuanto más cerca está e de uno, más achatada está. Si e = 0, la elipse es una circunferencia.
CAmbio de centro
La ecuación de la elipse cuando el centro está en el punto O(u, v) es:

(x-u) (y-v)
-------- + -------- = 1
a b

2
2
2
2
Parábola
Una parábola es el lugar geométrico de los P(x, y) que equidistan de un recta fija d (directriz) y de un punto fijo F (foco).
d(P,F)=d(P,d)
Elementos de la parábola
F es el foco y d la directriz
La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz es el eje.
El vértice V, es la intersección del eje con la parábola.
Ecuación de la parábola
La ecuación reducida de una parábola cuando el foco está
-p -p
en el eje OX u OY y directriz x = ----- o y = ----- corresponde a:
y = 2 p x
o
x = 2py

2 2
2
El foco es F(p/2, 0) o F(0,p/2)
El vértice es (0 , 0)
2
Si trasladamos una parábola al vértice V (u, v) su ecuación es:
(y − v) = 2 p (x − u)
2
Hipérbola
Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos P(x,y) cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F' (focos) es constante.
| d(P,F)-d(P,F ') | = cte = 2a
Elementos Hipérbola
F y F ' son los focos, los puntos fijos de la hipérbola.
La recta que une los focos eje focal.
Los vértices, A y A', son los dos puntos de interseccion del eje focal con la hipérbola.
El punto medio del segmeto que nune los focos, O, es el centro.
Las dos recta a las que la hipérbola se acerca indefinidamente sin llegar a tocarlas, r y r', se denominan asítotas.
B y B' son los cortes de la circunferencia de centro A y radio C.
Ecuación de la hipérbola
Situando la hipérbola en uno de los ejes cartesianos y su centro en el origen de coordenadas, se cumple:
d(F, F ') =2c d(A, A') =2a
Propiedades la hipérbola
La diferencia de las distancias desde un punto de la elipse a los focos es 2a
d(P, F) + d(P, F ') = 2a
En una elipse se cumple siempre c = b + a
2
2
2
x y
---- - ---- = 1
a b
2
2
2
2
Excentricidad de la hipérbola
Llamamos excentricidad e de una hipérbola al cociente entre la distancia focal y el eje real.
c
e = ---- > 1
a
Ecuación cambio de centro
La ecuación de la hipérbola cuando el centro está en el punto O(u, v) es:


(x-u) (x-v)
-------- - -------- = 1
a b
2
2
2
2
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