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Geometría Analítica

Presentación acerca de conceptos generales de la materia de Geometría Analítica
by

Jordan Moysen

on 5 July 2011

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Transcript of Geometría Analítica

Geometría Analítica La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana , impulsada con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica. Las dos cuestiones fundamentales
de la geometría analítica son: 1.Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas , obtener su ecuación .




2.Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que verifican dicha ecuación . Lo novedoso de la geometría analítica es que representa las figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x,y) = 0, donde f es una función u otro tipo de expresión matemática. las rectas se expresan como ecuaciones polinómicas de grado 1 (por ejemplo, 2x + 6y = 0), las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (la circunferencia x2 + y2 = 4, la hipérbola xy = 1), etc. CONSTRUCCIONES FUNDAMENTALES En un sistema de coordenadas cartesianas,
un punto del plano queda determinado por
dos números, llamados abscisa y ordenada
del punto. El sistema cartesiano establece una correspondencia biunívoca entre un concepto geométrico como es el de los puntos del plano y un concepto algebráico como son los pares ordenados de números. ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO Una recta es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano tales que, tomados dos cualesquiera de ellos, el cálculo de la pendiente resulta siempre igual a una constante.
La ecuación general de la recta es de la forma: Ax+By+c=0 cuya pendiente es m = -A/B y
cuya ordenada al origen es b = -C/B. Una recta en el plano se representa con la función polinómica de primer grado de la forma: y=mx+b Si una recta no corta a uno de los ejes, será porque es paralela a él. Como los dos ejes son perpendiculares, si no corta a uno de ellos forzosamente ha de cortar al otro (siempre y cuando la función sea continua para todos los reales). Tenemos tres casos: Rectas oblicuas



Rectas horizontales



Rectas verticales RECTA OBLICUA
•Cualquier otro tipo de recta. En ellas hay un punto de corte con el eje de abscisas (a,0) y otro punto de corte con el eje de ordenadas (0,b). El valor a recibe el nombre de abscisa en el origen, mientras que el b se denomina ordenada en el origen.


RECTAS HORIZONTALES
• No cortan al eje de las abscisas y, por tanto, son paralelas a dicho eje y se denominan rectas horizontales. El punto de corte con el eje de ordenadas es el punto (0,y0). La ecuación de dichas rectas es: y=y0

RECTAS VERTICALES
•No cortan al eje de ordenadas y son paralelas a dicho eje y se denominan rectas verticales. El punto de corte con el eje de abscisas es el punto (x0,0). La ecuación de dichas rectas es: x=x0 SECCIONES CÓNICAS El resultado de la intersección de la superficie de un cono, con un plano, da lugar a lo que se denominan secciones cónicas, que son: la parábola, la elipse (la circunferencia es un caso particular de elipse) y la hipérbola. PARÁBOLA

Es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Una parábola cuyo eje de simetría sea paralelo al eje de abscisas se expresa mediante la ecuación: y=ax^2+bx+c • Foco (h, k + p)
• Directriz y = k – p
• Eje focal x = h
• Si p > 0 la parábola se abre hacia arriba.
• Si p ELIPSE

Es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre los vértices.
Una elipse centrada en los ejes, con longitudes de semieje a y b viene dada por la expresión:



*Si los dos ejes son iguales y los llamamos c:


el resultado es: • F y F’, focos.
• V y V’, vértices
• C, centro.
• d(V, V’), eje mayor.
• CF, lado recto.
• d(A, A’) eje menor.
• L’, eje normal.
• L, eje focal. • F y F’, focos.
• V y V’, vértices.
• L, eje focal.
• VV’, eje transverso.
• C, centro.
• L’, eje normal.
• AA’, eje conjugado.
• CF, lado recto. HIPÉRBOLA

Es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia (resta) de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre los vértices.
La hipérbola tiene por expresión: CIRCUNFERENCIA

Circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano; el punto fijo se llama centro y la distancia constante radio. La circunferencia cuyo centro es (h, k) y de radio r tiene por ecuación: (x - h)2 + (y - k)2 = r2 y recibe el nombre de ecuación en forma ordinaria.


Forma general de la ecuación de una circunferencia.
Dada la forma ordinaria (x - h)2 + (y - k)2 = r2 desarrollamos los cuadrados y tenemos:
X2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = r2; agrupando términos:
X2 + y2 + (-2h)x + (-2k)y + (h2 + k2 – r2) = 0 Es una sucesión de puntos y éstos carecen de magnitud, pero se considera como una trayectoria de puntos que no cambian de dirección, o bien, en términos del espacio, es la intersección de dos planos. Además tenemos los siguientes conceptos: LA LÍNEA RECTA •Segmento de recta: Recta delimitada por dos puntos, ésta es una magnitud lineal finita.

•Semirrecta: Si se tiene una recta con un punto P contenido en ella y que la divide, cada una de las porciones en que queda dividida se le conoce como semirrecta.

•Rayo: Se le conoce como la semirrecta en un sentido, simbolizada como AB


Donde la flecha indica el sentido, el origen es A y el destino B, o bien por "r" con una flecha indicando el destino. Pendiente de una recta

Uno de los elementos más importantes de la línea recta es la pendiente, la cual se define como la tangente del ángulo de inclinación. El ángulo de inclinación es aquel que forma la recta con el eje positivo de las X. Dados dos puntos por los cuales pasa la recta, su pendiente se calcula así:
• m = (y2 – y1) / (x2 – x1)
• m = Tg ().
• Tg() = y2 / x2 = y1 / x1 presentado por: Por su atención
¡¡ GRACIAS !!
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