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Introducción a la lógica matemática.

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by

Mauricio Bedoya

on 18 February 2014

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Transcript of Introducción a la lógica matemática.

Introducción a la lógica matemática
Proposiciones
LOS CONECTORES LÓGICOS
LENGUAJE
TIPO DE PROPOSICIONES
Conjunción
Símbolo gramatical: Y
Símbolo lógico:
LA DISYUNCIÓN
Símbolo gramatical: O
símbolo lógico:
MODUS PONENDO PONENS
Si p entonces q, es verdad.
si se cumple p ,
por lo tanto se cumple B
Modus ponendo tollens
o bien se cumple p, o bien se cumple q (si una se cumple la otra no puede suceder)
si p es verdad
por lo tanto q no es verdad.

definición 1:
Es una expresión de la que puede decirse que es verdadera o falsa, pero no las dos cosas
Proposiciones
definición 2
es un enunciado del que puede decirse con exactitud que es o VERDADERO o FALSO
¿Cuáles son proposiciones?
Mi cuaderno de matemáticas tiene 80 hojas
En este salón hay solamente 20 alumnos
En este pais no hay ni pobre ni analfabetos
2+6 son 7
X+1 son 4
¿ Cómo estas ?
Proposiciones Simples
Este mes voy a trabajar
Este mes me muero de Hambre
Vivo en lima
Vivo en madrid
Estudio matemáticas
Puedo enseñar matemáticas
Proposiciones Compuestas
Este mes voy a trabajar o me muero de hambre
O vivo en lima o vivo en Madrid.
Si estudio matemáticas, entonces puedo enseñar matemáticas
Definición
Una proposición compuesta es aquella que esta formada por dos o mas proposiciones simples.
Ejemplo
sea p: esta tarde estudiaré historia
q: esta tare estudiaré español
p^q : Esta tarde estudiaré historia y
español
EJEMPLO
Sea p: Juan es inteligente
q: Juan es estudioso
pVq: Juan es inteligente o
estudioso
Es simplemente negar la proposición.
Si una proposición es
verdadera necesariamente
su negación es falsa
LA NEGACIÓN
tabla de verdad de la disyunción
CUALQUIER ENUNCIADO DE LA FORMA "SI P ENTONCES Q" ES UNA PROPOSICIÓN LLAMADA CONDICIONAL Y SE SIMBOLIZA COMO
CONDICIONAL
Implicación:
p es una condición suficiente para q si en presencia de p el acontecimiento q debe ocurrir. El enunciado p es condición suficiente para q
se simboliza como:


¿Muy complicado?
Ejemplo
p: Juan es peruano
q: Juan es suramericano

si Juan es peruano entonces es suramericano.

En este caso podemos observar que es suficiente que Juan sea peruano para que sea suramericano, es decir, p es una condición suficiente para que q ocurra. a esto se le llama una implicación.

Para resolver:
hallar el valor de verdad de cada una de los condicionales
BICONDICIONAL
cualquier enunciado de la forma: "p si y solo si q" es una proposición llamada bicondicional y se simboliza:

REGLAS DE INFERENCIA
En la simbología de la lógica matemática lo podemos escribir como:

Ejemplos:
Si me levanto temprano entonces no llego tarde
Me levanté temprano
por lo tanto no llego tarde
EJEMPLO
O la luz está apagada o está prendida.
La luz esta apagada,
por lo tanto no esta prendida.
En lenguaje formal se escribe
donde la negación del condicional (la flecha con la barra) implica que las proposiciones no son lógicamente equivalentes
MODUS TOLLENDO PONES
p o q es verdad. Si no ocurre p, la ocurrencia de q es verdadera.
En lógica matemática lo podemos escribir como:

EJEMPLO
p=un cuerpo esta acelerado
q=un cuerpo tiene velocidad contante
un cuerpo esta acelerado o tiene velocidad constante.
un cuerpo no esta acelerado
por lo tanto tiene velocidad constante
MODUS TOLLENDO TOLLENS
Si p entonces q es verdad y q no es cierto, entonces p no puede ocurrir.
En lógica matemática se escribe como
EJEMPLO
p: compro zapatos
q: tengo dinero
si compro zapatos entonces tengo dinero
no tengo dinero
por lo tanto no compro zapatos.

Recursos que te pueden ayudar
video explicación de reglas de inferencia
páginas de interés
http://unillanosadministracion01logica.over-blog.com/article-ejercicio-de-aplicacion-reglas-de-inferencia-56729406.html

Lógica cuantificacional
¿a cuáles de las siguientes proposiciones se le pude asignar un valor de verdad?
X+3=5
2a + 2b=8
A las proposiciones anteriores no podemos darle un valor de verdad hasta que sepamos que conjunto de valores puede tomar las variables, es decir, tenemos que definir un conjunto Universal.
Conjunto universal (definición): Es un conjunto que fijamos de forma arbitraria y de acuerdo con cierto interés particular que se tenga en el momento dado. Se denota con letra U. (tomado de matemáticas básicas y operativas de Julio A. Uribe.)
EJEMPLOS
Sean los con juntos A={aves} B={mamíferos} C={peces}
el conjunto universal sería U={animales}

En el ejemplo de la anterior diapositiva (X+3=5) si definimos el conjunto universal como U= {3,4,7,8,9,10} la ecuación no podría tener solución. En lógica proposicional a esto se le llama función proposicional ó fórmula
Función proposicional
Es una expresión en donde aparecen una o más variables y que se convierte en proposición cuando reemplazamos las variables por algún elemento del conjunto y se denota Px
Ejemplo:
consideremos el conjunto U={1,2,3,4,5,6,78,9,10} y la función proposicional Px: x > 8. Los valores para los cuales la proposición es verdadera se llama el conjunto solución en este caso sería 9 y 10
Cuantificador universal
en general, si A es un conjunto y Px es una función proposicional entonces
es un proposición.
El cual se lee, para todo x
Para tener en cuenta
Es verdadera sí y solo si el conjunto solución de de Px es A
Es falsa sí y solo si el conjunto es de Px no es A
CUANTIFICADOR EXISTENCIA
el cual se lee existe un x tal que...
En general, si A es un conjunto y Px es una función proposicional, entonces
Es una proposición.
PARA TENER EN CUENTA
Es verdadero si y solo si el conjunto solución de px tiene por lo menos un elemento de A
Es falso si y solo si el conjunto solución de px no contiene ningún elemento de A, es decir es un conjunto vacío.
http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/
este es un libro de lógica muy bueno de la Universidad de Antioquia
Negación de los cuantificadores
MÉTODO DIRECTO
El método directo se fundamenta en:
Ley del Modus ponens
Ley del silogismo
Ley de sustitución

MÉTODO DEL CONTRARECÍPROCO
este se basa en el hecho que el contrarecíproco de un condicional es equivalente al condicional:

Método de reducción al absurdo
Este se basa en los siguientes pasos:
1. Suponemos que la hipótesis es verdadera y que la negación de la conclusión también es verdadera.

2. Luego por medio del método directo buscamos llegar a una contradicción con la hipótesis del teorema o con otra proposición ya demostrada.
MÉTODOS DE
DEMOSTRACIÓN
MÉTODO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA
Este método se utiliza mas que todo para probar sucesiones matemáticas.
los pasos para la demostración por este método son los siguientes:
1. Se comprueba que la proposición se cumple para cualquier entero a.

2. suponemos que la proposición se cumple para cualquier entero k y hacemos de esta la hipótesis de la demostración

3. luego demostramos que la hipótesis se cumple para el siguiente número es decir para k+1.
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