Loading presentation...

Present Remotely

Send the link below via email or IM

Copy

Present to your audience

Start remote presentation

  • Invited audience members will follow you as you navigate and present
  • People invited to a presentation do not need a Prezi account
  • This link expires 10 minutes after you close the presentation
  • A maximum of 30 users can follow your presentation
  • Learn more about this feature in our knowledge base article

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

DeleteCancel

Make your likes visible on Facebook?

Connect your Facebook account to Prezi and let your likes appear on your timeline.
You can change this under Settings & Account at any time.

No, thanks

Geschiedenis van de Wiskunde

No description
by

Erwin Jousma

on 27 June 2016

Comments (0)

Please log in to add your comment.

Report abuse

Transcript of Geschiedenis van de Wiskunde

1500 v Chr.
0
2000
3000 vChr.
1500
Geschiedenis van de Wiskunde
Oude Chinese Wiskunde
1500 v Chr. - 500 na Chr.

Veel van de kennis uit China is later in Europa herontdekt. In 210 voor Christus overleed keizer Qin Shi Huangdi en dit betekende het einde van zijn dynastie. De nieuwe machthebbers, behorende tot de Han-dynastie, gingen verder met de bureaucratisering die Qin had opgestart. De twee belangrijkste bronnen die we hebben van wiskunde uit deze tijd zijn leerboeken die gebruikt werden bij de opleiding van de ambtenaren. In deze boeken staat onder meer de stelling van Pythagoras (uiteraard onder andere benaming), een goede benadering van Pi en door middel van de schattingsmethode konden ze 3de graads vergelijkingen oplossen. (dit laatste was bedacht door Ching en gaf slechts een benadering).
Oude Indiase Wiskunde
900 v Chr.

Net als bij de oude Chinezen wiskunde is er ook veel van de oude Indiase wiskunde later in de westerse werled herontdekt.
Aan India hebben we ons huidige telsysteem te danken. Zij waren de eersten die werkten met de cijfers 1 t/m 9. Nog belangrijker in de Indiase wiskunde kwam voor het eerst het getal nul voor. Doordat men toen verder is gaan denken kwamen ze op het idee van negatieve getallen.



Grieken
550 v Chr.

De Griekse wiskunde heeft veel beroemde namen voortgebracht. Het eigenlijke begin van de Griekse wiskunde vindt zijn oorsprong in de Egyptische en Babylonische wiskunde. Thales van Milete en Pythagoras brachten deze kennis naar Griekenland. Voor de grieken werd het bewijzen van stellingen belangrijk. De drie beroemde vraagstukken waar zij zich over bogen waren: De kwadratuur van de cirkel, de driedeling van een hoek en de verdubbeling van de inhoud van een kubus. Al deze problemen moesten geconstrueerd worden met slechts een passer en een lineaal.
Er zijn teveel bekende Griekse wiskundigen om hier allemaal op te noemen maar een van de bekendsten was natuurlijk Pythagoras. Hij bewees voor het eerste de stelling van Pythagoras en construeerde op algebraïsch wijze de Pythagorese drietallen. De Griekse wiskunde droeg voornamelijk bij tot ideeën over getaltheorie, wiskundige analyse en toegepaste wiskunde.
Middeleeuwse Wiskunde in Europa
500 na Christus

De wiskunde in het middeleeuwse Europa werd gedreven door totaal andere problemen dan in de huidige wiskunde. Een van die drijfveren van toen was het geloof dat wiskunde informatie kon verschaffen over de orde in de natuur, omdat volgens de Bijbel God "alle dingen had geordend in maat, getal en gewicht" (Wijsheid van Salomo 11:20). Wiskunde werd als een verplicht onderdeel gegeven op de Middeleeuwse universiteiten. Mede daardoor zijn in Europa grote kathedralen gebouwd.
Klassiek Arabische Wiskunde
800 na Christus

Doordat het Arabische Rijk zich in de 8e en 9e eeuw uitbreidde over het Midden-Oosten, Centraal-Azië, Noord-Afrika, het Iberisch schiereiland en enkele delen van India werd de invloed van de Arabische wiskundigen in die tijd veel groter.
"Completing the Square"(Al-Khwarizmi)
Algebra 16de eeuw
Al-Khwarizmi wordt wel de vader van de algebra genoemd. Hij is de schrijver van het boek "Hisab al-Jabr w'al-Muqabala". Het woord Algoritme is afgeleid van zijn naam en het woord Algabra komt uit de titel van zijn boek (al-Jabr).
22000 vChr.
Egyptenaren
2700 v Chr.

Van de wiskundige kennis van de Egyptenaren is minder bewijs teruggevonden dan van de Babyloniers. Egyptenaren schreven alles op Papyrus en dat vergaat in tegenstelling tot kleitabletten. Het meeste wat we weten van de Egyptenaren is afkomstig van het Rhind Papyrus en het Moskouse Papyrus. De Egyptenaren Konden simpele lineaire vergelijkingen oplossen, rekenen met stambreuken, het volume van een afgeknotte piramide bereken en de oppervlakte van een cirkel bepalen. Ze maakten gebruik van een 10-tallig niet positioneel getallen stelsel.
Babeloniërs
3000 v Chr.

De oude Babyloniërs uit Mesopotamië (het huidige Irak) waren al erg bedreven in de wiskunde. Ze kenden de stelling van Pythagoras, hadden 3 als benadering van Pi, beschikten over indrukwekkende algebraïsche vaardigheden, zo konden zij Lineaire- en vierkantsvergelijkingen oplossen, en ze maakten gebruik van een erg handig notatie systeem voor getallen (spijkerschrift). Er is over de Babyloniërs zoveel bekende doordat zij notities maakten op kleitabletten en deze kleitabletten zijn zeer goed bewaard gebleven.
Ishango-botje
22000 v Chr.

Een halve eeuw geleden ontdekte de Belgische geoloog-archeoloog Jean De Heinzelin een botje bij opgravingen in het Congolese Ishango, op vijftien kilometer van de evenaar, aan de oever van het Edwardmeer. Het Ishango-botje, dat ‘de oudste wiskundige vondst van de mensheid’ wordt genoemd, is een opmerkelijk object, slechts tien centimeter lang, met een kwartskristal aan het uiteinde. Het lijkt op een soort schrijf- of werktuig, maar het meest opmerkelijke aan het botje zijn de drie kolommen met kerven die langs de lengteas verspreid staan. Deze inkervingen stellen getallen voor en zouden het oudste bewijs van wiskundige kennis bij de mens kunnen zijn.
Descartes
16de eeuw

René Descartes is de eerste filosoof van het zeventiende-eeuwse rationalisme, waartoe ook Spinoza en Leibniz behoren. Descartes wordt beschouwd als de vader van de moderne filosofie. In het boek Over de methode beschrijft de Franse denker de beginselen van een wiskundige methode voor zekere kennis. Als appendix bij dit boek verscheen La Geometrie.
Wiskunde
17&18de eeuw

In de17de en 18de eeuw zijn er veel grote wiskundige ontdekkingen gedaan.
Newton en Leibniz ontdekten beide Differentiaalrekening. Leibniz was bekend met Newton zijn werk dus Newton heeft het waarschijnlijk bedacht maar Leibniz heeft het gepubliceerd. Euler kwam met nieuwe schrijfwijzes zo heeft hij de getallen e en i ingevoerd en het teken voor Pi bedacht. Fermat en Pascal hebben de basis gelegd voor de kansberekening. Goldbach heeft zijn bekende vermoeden verwoord. "Elk even getal groter dan 2 kan geschreven worden als de som van twee priemgetallen, een priemgetal mag hierbij twee keer worden gebruikt."



Wiskunde
19de eeuw

Een van de bekendste wiskundigen van de 19de eeuw was Carl Friedrich Gauss. Hij werd gezien als een wonderkind. Op zijn twaalfde vocht hij de meetkunde van Euclides aan en op zijn vijftiende ontdekte hij een patroon in priemgetallen waar men al 2000 jaar naar zocht. Daarnaast hield hij zich veelal bezig met imaginaire getallen. Hij gaf een beeld van hoe imaginaire getallen werken.
Bolyai en Lobatsjevski werkten onafhankelijk van elkaar aan de Hyperbolische wiskunde. Bernhard Riemann liet alle 2 en 3 dimensionale beperkingen varen en ging in hogere dimensies denken. Dit is de basis geweest voor de hedendaagse wiskunde (meetkunde, getaltheorie en meer).
Wiskunde
21ste eeuw

Wiskunde
20ste eeuw

Voor de 20e eeuw kwamen de meeste wiskundigen uit een welgestelde familie (zoals Napier) of werden ze gestimuleerd en betaald door mecenassen (zoals Gauss). Een klein aantal, waaronder Fourier, werden betaald door colleges te geven in universiteiten. Heel wat wiskundigen, zoals Niels Henrik Abel, stierven in armoede door ziekte en verwaarlozing. Wiskunde werd in de 20e eeuw een beroep. Ieder jaar werden prijzen aan wiskundigen toegekend en er werden arbeidsplaatsen gecreëerd in onderwijs en industrie.
Les over de oude Babyloniërs
Les over Egyptisch rekenen
De Arabieren konden grote vooruitgang maken binnen de wiskunde doordat ze voortborduurde op werkmethodes van andere volkeren. De belangrijkste Islamitische wiskundigen waren Perzen. Het is dan ook niet verwonderlijk dat het grootste deel van de islamitische teksten over wiskunde geschreven waren in het Arabisch werd door niet-Arabische geleerden gebruikt als hun geschreven taal..
In dit boek worden oplossingen van zes varianten van lineaire en kwadratische vergelijkingen uitgelegd.
Descartes koppelt in La Geometrie algebra en meetkunde aan elkaar. Hierdoor werd het mogelijk om meetkundige figuren als vergelijkingen te schrijven. Nu was het mogelijk te schakelen tussen formules en figuren. Descartes deed dit met behulp van het nu zo bekende assen stelsel.

Een bekende uitspraak van Descartes was: cogito, ergo sum 'Ik denk, dus ik ben' dit is de enige waarheid die Descartes kan vinden.
Les over Algebra
De 23 problemen van Hilbert

Srinivasa Ramanujan: autodidact en wiskundige

De wiskunde in 1 systeem
Bewijzen van onbewijsbaarheid

Computerwiskunde

Oude problemen opgelost

Wiskunde op grote schaal
We zouden het wiskundig leren denken centraal moeten stellen. Volgens Conrad Wolfram (van de firma Wolfram die allerlei wiskundesoftware maakt) komt het bestaande curriculum steeds verder af te staan van de manier waarop wiskunde in de werkelijkheid buiten de school wordt gebruikt. Wanneer het wiskundeonderwijs niet verandert, dan wordt wiskunde volgens hem net zoiets als Oudgrieks: leuk voor een enkeling, maar niet relevant voor de overgrote meerderheid van de leerlingen.
Grootste priem:
Wie zijn de Babyloniërs
Volk uit Babylonië dat een koninkrijk in Mesopotamië heeft gesticht.
Mesopatamië “land tussen de rivieren”
Mesopatamië tegenwoordig Irak








Gebied dat tussen de Eufraat en Tigres ligt.
3000 v. Chr - 500 v. Chr
Hoofdstad is Babylon
Waarom zijn de Babyloniërs zo belangrijk voor ons?
Oude civilisatie (Archeologische vondsten)
Bouwwerken
Kleitabletten
Dur-Untash 1300 v. Chr.
Kleitabletten (Spijkerschrift)
Half miljoen Babylonische kleitabletten gevonden,
waarvan duizenden van wiskundige aard
Wat valt er op?
Twee à drie manieren hoe spijkers in het kleitablet zijn gegraveerd
Individueel

2 min

Ontcijfer het wiskundige Babylonische kleitablet
2 pers.

15 min

Tip: Betekenis 1 en 10
Kleitablet loopt van 1 tot 60
60-tallig stelsel bestaat nog steeds
- Tijdmeting
- Hoekmeting
- Babyloniërs zijn dus bepalend geweest voor de hedendaagse wiskunde.
- Honderd was vroeger zestig
Ter afsluiting: Babylonische spraakverwarring

Waar komt het waarschijnlijk vandaan?
Dat is grappig
Volgens wetenschappers uit de wiskunde. Babyloniërs hadden geen 0, waardoor bijvoorbeeld 63 gelijk is aan 603, of 6003, en zo zijn er nog veel meer mogelijkheden
Probeer zelf 5 verschillende Babylonische spraakverwarringen te vinden?
Teken het uit en geef aan wat het kan betekenen
Afsluiting (extra)
Welke mogelijkheden hebben jullie gevonden?
2 pers.

15 min

Leraren instructie

Deze Didactische opdracht is geschikt voor leerlingen die kennis hebben van kwadrateren en worteltrekken.

De bedoeling van deze opdracht is dat de leerlingen zelf ontdekken hoe ze een kwadratische vergelijking schematisch kunnen weergeven en deze kunnen oplossen met behulp van de “completing the square” techniek.

De leerlingen kunnen deze opdracht individueel of in tweetallen doen.

Reken qua tijd inclusief bespreken en eventuele vragen op 1 lesuur.
Geef na elke stap tijd voor vragen!

Al-Chwarizmi schreef in zijn boek
Hisab al-Jabr w'al-Muqabala hetvolgende:
Een kwadraat en 8 keer zijn wortel vormen
samen 84 eenheden.
Dit wil zeggen: welk getal moet gekwadrateerd
worden zodat het kwadraat plus 8 keer het getal
84 oplevert?

Opdracht:
Vertaal het stukje tekst van Al-Chwarizmi naar een vergelijking
5 minuten
Welke oplossingen zijn er gevonden??

Welke oplossing lijkt de klas juist?

De juiste oplossing is:
x + 8x = 84
2
Opdracht
Maak een schematische weergave (een tekening)
bij de vergelijking
x + 8x = 84
2
x + 8x = 84
2
7 minuten
TIP: Teken een rechthoek wat verdeelt is in een vierkant en een rechthoek en laat 84 nog even buiten beschouwing.
Wie tekent zijn oplossing op het bord?
Oplossing:
X
X
8
Oppervlakte = x + 8x
Oppervlakte = 84 geeft ons
2
x + 8x = 84
2
Opdracht:
Verdeel het stuk 8x in twee gelijke stukken laat de zijde x intact en 'plak' een van de twee nieuwe stukken onder het stuk x
2
3 minuten
x
2
x
2
4x
4x
4x
4x
Opdracht:
Maak het vierkant compleet en bereken eerst de totale oppervlakte en vervolgens de waarde van x
10 minuten
x
2
4x
4x
16
Totale Oppervlakte:

x + 8x = 84
2
4 4 = 16
x
+
100
Zijde van het grote vierkant :
√100 = 10
x
2
4x
4x
16
X + 4 = 10
Dus x = 6
https://staff.science.uva.nl/j.vandecraats/babylon.pdf
http://www.kennislink.nl/publicaties/made-in-china
https://nl.wikipedia.org/wiki/Geschiedenis_van_de_wiskunde
DVD The Story of Maths
NHL Dictaat van het vak Geschiedenis van de wiskunde

Bronnen
Vermenigvuldigen zoals de Egyptenaren
Lesdoelen:

Na deze les kan de leerling egyptisch vermenigvuldigen
Het kunnen vermenigvuldigen door te verdubbelen
Vermenigvuldigen zoals de Egyptenaren
met je buurman/-vrouw
5min
Schrijf voor beide sommen, zoveel mogelijk verschillende manieren van berekenen op.
b.v. 10x17+3x17=
Nu de Egyptenaren
Nu jullie zoals de Egyptenaren
met je buurman/-vrouw
5min
Nu jullie zoals de Egyptenaren
1 43
2 86
\4 172
\8 344

4+8=12
172+344=516
Nog een paar zoals de Egyptenaren
\1 24
2 48
4 96
\8 192

1+8=9
24+192=216
9 x 24
7 x 16
11 x 19
10min
Alleen
\1 19
\2 38
4 76
\8 152

1+2+8=11
19+38+152=209
\1 16
\2 32
\4 64


1+2+4=7
16+32+64=112
Je kunt nu
Egyptisch vermenigvuldigen!
9 x 24
7 x 16
11 x 19
Doelgroep
o Onderbouw havo/vwo

Didactische Verantwoording

Volgorde van de oefeningen zijn gericht op het leerproces van de leerling en wordt aan de hand van een combinatie van directe instructie en het onderwijsleergesprek vormgegeven.
- eerst wordt er achtergrondinformatie gegeven over het bestaan van de Babyloniërs en de wiskundige overblijfselen.
- de eerste oefening is gericht op voorkennis van de leerling ophalen en de bewustwording van de gehanteerde tekens en symbolen van de Babyloniërs. Dit wordt individueel uitgevoerd, omdat de opdracht relatief eenvoudig is. Naderhand wordt de opdracht toegelicht, zodat iedereen dezelfde basiskennis heeft.
- oefening twee is erop gericht dat leerlingen in groepjes met een wiskundig spijkerschrift tablet aan de slag gaan. De oefening is vooral gericht op patronen herkennen en daar vervolgens een betekenis aan geven. Tijdens het ontrafelen van het spijkerschrift worden tips gegeven, om de leerlingen op weg te helpen. Dit wordt in groepjes van twee uitgevoerd.
- na uitvoeren van de oefening wordt de opdracht van het 60-tigtallig stelsel besproken aan de hand van een onderwijsleergesprek. Hierna wordt het 60-tigtallig stelsel gekoppeld aan de hedendaagse werkelijkheid dat ook middels een onderwijsleergesprek wordt vormgegeven.
- afhankelijk van het niveau en de tijdsduur is er ook een extra oefening 3. Hier kunnen leerlingen zelfstandig of in groepjes van twee hun eigen Babylonische spraakverwarring proberen op te stellen.

De eerste oefening wordt alleen uitgevoerd, waarbij de leerling zelfstandig tot de conclusie komt dat er twee a drie symbolen voor het spijkerschrift bestaan. Het is relatief korte opdracht, waardoor twee minuten bedenktijd voldoende is.

De tweede oefening wordt in een 2-tal of eventueel nog 3-tal uitgevoerd om de leerlingen elkaar te laten inspireren en om te voorkomen dat er leerlingen stil blijven en niet meedoen. Oefening twee duurt beduidend langer dan opdracht één, omdat leerlingen actief moeten nadenken over een probleem en dit gezamenlijk moeten op te lossen.

De derde oefening duurt net als de tweede oefening langer, omdat van de leerling actief wordt verwacht de theorie toe te passen in een vraagstuk. Deze oefening kan zowel individueel (vwo) als gezamenlijk (havo) worden uitgevoerd. De derde opdracht is vooral op zelfstandigheid gericht en het actief kunnen toepassen van de bekende theorie. Als de leerlingen dit beheersen, kunnen ze het Babylonische spijkerschrift (ten dele) toepassen.

Rekenen als de oude Babyloniërs
Doelgroep
o Onderbouw VMBO
o Eerstejaars MBO, leerlingen met een rekenachterstand

Didactische Verantwoording

Volgorde van de oefeningen zijn gericht op het leerproces van de leerling.
- eerst een oefening waarbij de leerling bewust wordt van wat hij al weet of kan verzinnen met een klasgenootje
- dan na uitleg van het Egyptisch vermenigvuldigen eens kijken of dit samen lukt (hulp van elkaar)
- Daarna een paar voorbeelden om te kijken of het zelfstandig lukt (zonder hulp)

De eerste oefening is in 2-tal of eventueel nog 3-tal maar niet zelfstandig, dit om de leerlingen elkaar te laten inspireren. Niet in een groter aantal om te voorkomen dat er leerlingen zijn die stil blijven en niet meedoen.

De tweede oefening om dezelfde reden in 2- of maximaal 3-tal en niet alleen, om actief bezig te zijn met het leren Egyptisch vermenigvuldigen.

De derde oefening is zelfstandig, zodat de leerling zichzelf kan bewijzen dat hij iets kan en/of geleerd heeft.

Vermenigvuldigen zoals de Egyptenaren
Doelgroep
o Tweede klas Havo
o Derde klas VMBO KGT

Didactische Verantwoording

De volgorde van de oefeningen zijn gericht op het leerproces van de leerling. Tussen de oefeningen door worden de antwoorden besproken zodat leerlingen niet af hoeven te haken als ze niet tot een oplossing komen
- Eerst moet een stuk tekst ‘vertaald’ worden naar een vergelijking. Als leerlingen dit kunnen dan weten ze ook wat de vergelijking betekend.
- Bij de tweede opdracht gaan de leerlingen de vergelijking omzetten in een schematische weergave, een tekening.
- De derde opgave is vooral tekstueel cryptisch en heeft wiskundig weinig meerwaarde.
- Bij de laatste stap moeten de leerlingen twee dingen doen. Namelijk het vierkant afmaken en de onbekende x berekenen.

De eerste oefening is bedoeld om de leerlingen bewust te maken van de achtergrond van een vergelijking. “Wat staat er nu eigenlijk?” De oefening wordt besproken in de klas en iedereen gaat verder werken met de juiste vergelijking, dit laatste geldt overigens voor alle opdrachten die volgen.

Bij de tweede opdracht wordt de wiskundige vergelijking weer in wat anders omgezet namelijk in een tekening. Hierdoor worden de leerlingen zich bewust van de verschillende manieren waarop je een probleem kunt weergeven, opschrijven. De tip is bedoeld om de leerlingen die echt niet verder komen op het juiste spoor te zetten en de andere leerlingen te laten controleren of ze goed bezig zijn. De oplossing verschijnt op het bord zodat iedereen weer mee kan doen bij de volgende vraag.

De derde opdracht is meer een tussenstap maar is een essentiële stap in het principe van ‘completing the square’ Het is belangrijk dat leerlingen dit ook eerst zelf doen en niet meteen uitgelegd krijgen zodat ze het principe beter zullen begrijpen en onthouden.

Bij de laatste opdracht moeten de leerlingen het vierkant compleet maken waardoor ze waarschijnlijk de naam ‘completing the square’ kunnen plaatsen. Het oplossen van x moet voor de leerlingen geen probleem vormen . Mits ze aan de oppervlakte van het extra vierkantje gedacht hebben.

De bedoeling van de gehele opdracht is om leerlingen een beeld te geven waar tweedegraads vergelijkingen voor gebruikt kunnen worden, hoe men hier vroegere mee rekende en wat ze daarvan terugzien in hun eigen wiskundewerk. De opdrachten worden individueel of in tweetallen gemaakt zodat alle leerlingen actief mee moeten doen en zelf na moeten denken over de opgaven. tussendoor worden de antwoorden besproken.


Les over Algebra: ‘Completing the Square’
Full transcript