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metodos numericos

este archivo me va a render un 10 en esta porqueria de materia
by

tales riomar

on 6 June 2011

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Transcript of metodos numericos

Proyecto 100% original Integrantes: 1- Stefano Acosta 2- Natalia Benitez 3- Rodrigo Espinel 4- Tales Riomar Parte 1 : Introducción a) Que es Interpolación? Supongamos que tenemos puntos de una función
pero no conoscemos la función a que ellos pertenecen. Interpolación es deducir la función a que los contiene aplicando técnicas de los Métodos Numéricos, tales como: 1- Interpolación Linear, 2- Interpolación Polinomial, 3- Interpolación por Diferencias Divididas, (Método de Newton), 4- Interpolación con Splines ( Grado 1, Grado 2, Cúbico). Curva equidistante es aquella que esta uniformemente distanceadas de los puntos datos. Aplicamos entonces un proceso llamado de Ajuste de Curvas, que tambien será explicado. a) Interpolación Lineal Parte 2 B) Problemas que pueden ser generados Al interpolar, creamos una función que puede ser la real, con una aproximación muy buena. Pero, si el intervalo de interpolación está limitado por un " x= -3 " ^ " x=9" , por ejemplo, y la función definida por puntos entre "x= -2" ^ "x= 5", generamos un problema, porque los programas realizan una aproximacion de la gráfica, podendo generar una gráfrica alterada. Valor mínimo Valor Máximo Grafica definida entre MAX ^ MIN Gráfica en intervalo Generado No sabemos si hay punto de inflección aqui No sabemos si baja o sube la gráfica La interpolación lineal es la Interpolación mas simple de todas las Interpolaciones; es suficiente tener 2 puntos y sus imágenes para crear una recta que pase por estas 2 coordenadas. b) Interpolación polinomial de orden 'n' Dado 'n' coordenadas en 'x' y sus respectivas imágenes, creamos un polinómio general de formato 'A+Bx+C(x^2)+...Q(x^n-1)'. En este polinómio, reemplazamos los puntos 'x' y creamos 'n' ecuaciones. Estas ecuaciones pueden ser introducidas en una matriz 'Z(n x n+1)' tal que 'xi != xi+1', donde i=0,1,...n y el det(A) != 0. Aplicando el procecio de escalonamiento, los valores de los coeficientes son encontrados y, reemplazandolos, tenemos la ecuación y la gráfica generada por los 'x'. Matriz Ampliada Parte 3 c) Códigos utilizados a) Ajuste de Curvas El ajuste de curvas consiste en encontrar una curva que contenga una serie de puntos y que posiblemente cumpla una serie de restricciones adicionales. Los métodos más usados son los ajustes de curvas/análisis de regresión (cuando se permite una aproximación). El problema de la aproximación consiste en encontrar un elemento de cierto subespacio S, de un espacio E, que se encuentra a la mínima distancia de un elemento dado x pertenece a E. Si E es un espacio euclídeo y S es un subespacio de dimensión finita, sabemos que la solución viene dada por la proyección ortogonal de x sobre el subespacio S. MÉTODOS NUMÉRICOS Interpolación y ajuste de curvas Recordemos algo: Mientras mayor es el grado de la ecuación, vamos a tener más puntos y va a ser cada vez más difícil ajustar una curva, incluso de un método a otro, son diferentes las respuestas por lo que se tiene un ajuste aproximado.
Las gráficas de polinomios de orden superior, oscilan mucho por lo que se cree que las curvas pasan por los puntos medios entre 2 puntos aunque esto puede no suceder ya que el valor de las magnitudes son muy grandes o pequeñas. Esto es más fácil garantizar cuando hay polinomios de grado bajo. b) Regresion Lineal Simple Dadas dos variables (Y: variable dependiente; X: independiente) se trata de encontrar una función simple (lineal) de X que nos permita aproximar Y mediante: Ŷ = a + bX
a (ordenada en el origen, constante)
b (pendiente de la recta)
A la cantidad e=Y-Ŷ se le denomina residuo o error residual. Gráfica del ajuste lineal Seria la recta mas equidistante de los puntos Ajuste de Mínimos Cuadrados Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico enfocada a la optimización matemática, teniendo un conjunto de pares, se intenta encontrar la función que mejor se aproxime a los datos.
Con esto se intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias entre los puntos generados por la función y los correspondientes en los datos.
Un requisito para que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén en forma aleatoria. También es importante que los datos recogidos estén bien escogidos, para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas.
La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas. Muchos otros problemas de optimización pueden expresarse también en forma de mínimos cuadrados. Gráfica generada Códigos Aplicados Parte 4 a)Interpolación con splines Este tipo de interpolación que ha demostrado poseer una gran finura y que inclusive es usado para el diseño asistido por computadora, por ejemplo, de tipos de letra. Esta interpolación se llama interpolación segmentaria o interpolación por splines. La idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar todos los datos, se pueden usar segmentos de polinomios entre pares coordenados de datos y unir cada uno de ellos adecuadamente para ajustar los datos. Una función spline está formada por varios polinomios, cada uno definido sobre un subintervalo, que se unen entre sí obedeciendo a ciertas condiciones de continuidad b)Comparación Splines de grado 0 vs. Splines de grado 1 Los splines de grado 0 son funciones constantes por zonas. Una forma explícita de presentar un spline de grado 0 es la siguiente: Los intervalos [t(i-1),ti) no se intersecan entre sí, por lo que no hay ambigüedad en la definición de la función en los nudos. Un spline de grado 1 se puede definir por: Splines grado 0 Splines de grado 1 c) Splines de grado 2 Los splines de orden dos, se encargan de unir cada par coordenado con ecuaciones polinomiales de orden dos. Las ecuaciones son de la forma ax^2 + bx + c . Es semejante a el de grado 2 , pero no une los puntos con rectas, mas bien con curvas. d) Splines Cúbicos
(Mas usados) Pero la interpolación a trozos más útil y de uso generalizado en diversos campos tales como el diseño, los gráficos por computadora, la economía, etc., es la que se realiza mediante polinomios de grado tres llamados razadores o splines cúbicos que se definen en cada uno de los sub intervalos ( x k , x k +1 ) definidos por las abscisas de los puntos ( xi , y i ) a interpolar. La idea es construir estos polinomios cúbicos de tal forma que cualesquiera dos de ellos definidos en intervalos contiguos ( xk −1 , xk ) y ( x k , x k +1 ) , ambos coincidan en xk no solo suavidad en los puntos (xk,yk) de coincidencia de ambas gráficas. En cada sub intervalo (xi-1,xi).
s(x) tiene derivada continua hasta de orden k-1 en (xo,xn). En Matlab : Tenemos implementada la función spline para la interpolación por splines cúbicos.
Algoritmo: Un sistema lineal tridiagonal se resuelve para obtener información necesaria para describir los coeficientes de los polinomios cúbicos diversos que componen la spline de interpolación.
“Spline” utiliza las funciones anidadas en el matlab “ppval”, “mkpp” y “unmkpp”. Estas rutinas forman un conjunto reducido de funciones para trabajar con polinomios a trozos.
El comando "yy = spline(x,y,xx)" efectúa la interpolación de la nube de puntos dada por los vectores x, y por medio de splines cúbicos. En la salida (variable yy) obtenemos los valores del spline evaluado en los puntos dados en el vector xx. Si y es una matriz, la interpolación se realiza para cada fila de y. Una posible gráfica con Splines Cúbicos Funciones Aplicadas Parte 5 Diferencias divididas de Newton Cualquier polinomio de Rn[x] se puede expresar en forma única como una combinación lineal de los monomios {1, x, x^2, . . . , x^n}, pues son evidentemente sistema generador y además linealmente independientes (luego forman una base del espacio vectorial), la más simple de hecho, la base canónica. Esta base, que es adecuada para algunas manipulaciones inmediatas de polinomios. Un ejemplo práctico Dados los puntos (1,2/3);(3,1)(5,-1)(6,0), Encuentre el plinomio de interpolación usando diferencias divididas. Nosotros en diferencias divididas tenemos nuestro polinomio de interpolación base del cual partimos para cualquier polinomio de n-esimo nodo. POLINOMIO DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON: P(x) = f[x0] + f[x0, x1](x − x0) + f[x0, x1, x2](x − x0)(x − x1) + • • • +f[x0, x1, . . . , xn](x − x0)(x −x1) • • • (x − xn−1). Para mayor comprensión nosotros buscamos un polinomio

P(x)=c0+c1(x-1)(x-3)+c3(x-1)(x-3)(x-5);

Cada uno de los valores encontrados y marcados en nuestra tabla de color amarillos son nuestros ci, que en este caso descendentemente nos da,

c1=2/3
c2=1/6
c3=-7/24
c4=23/120

Y de esta forma armamos fácilmente nuestro polinomio, tomando nuestros valores de ci, y colocándolos de la manera antes indicada. P(x)=c0+c1(x-1) +c2(x-1) (x-3)+c3(x-1)(x-3)(x-5) Función generada Recalcamos que el Método de las Diferencias Divididas de Newton para el cálculo del polinomio interpolador es más ventajoso que el de Lagrange en el sentido de que si añadimos más puntos de interpolación podemos aprovechar el trabajo realizado anteriormente ya que lo único que debemos hacer es completar el esquema de diferencias divididas para calcular los que faltan. Esto es, hemos encontrado un modo eficiente para encontrar polinomios de grado n-esimo. Funciónes Aplicadas Fuente de consulta Burden y Faires [1985, Cap. 8];
Cordero, Hueso,
Martínez y Torre-grosa[2006,Cap 7];
Mathews y Fink [2000,Cap 5].
Métodos numéricos con MatLab. J.H. Mathews, K.D. Fink, Ed. Prentice-Hall, 2000.
Métodos numéricos aplicados en ingeniería. J.M. Ledanois, A. López de Ramos, J. A. Pimentel, F. F. Pironti, Ed. Mc Graw-Hill, 2000.
De Boor, C., A Practical Guide to Splines, Springer-Verlag, 1978.
CONDE LAZARO, C; WINTER ALTHAUS, G. Métodos y algoritmos básicos del álgebra numérica. Reverté, 1990.
SOUTO, A; SÁNCHEZ, J.M. Problemas de Cálculo Numérico para ingenieros con aplicaciones Matlab.
Motores de búsqueda: Google Scholar, Syrus, Ebsco Blackwell synergy
http://www.ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/plot.html
http://www.estv.ipv.pt/PaginasPessoais/lsousa/Teoria_actualMN/Cap%C3%ADtulo4-interpola%C3%A7%C3%A3o.pdf
http://www.uhu.es/03006/ficheros/Temas/forcal3.pdf Graciás por la paciencia Agradecidos F.I.N :)
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