Loading presentation...

Present Remotely

Send the link below via email or IM

Copy

Present to your audience

Start remote presentation

  • Invited audience members will follow you as you navigate and present
  • People invited to a presentation do not need a Prezi account
  • This link expires 10 minutes after you close the presentation
  • A maximum of 30 users can follow your presentation
  • Learn more about this feature in our knowledge base article

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

DeleteCancel

Make your likes visible on Facebook?

Connect your Facebook account to Prezi and let your likes appear on your timeline.
You can change this under Settings & Account at any time.

No, thanks

Магическая формула диагоналей

No description
by

Kaysar Omar

on 8 January 2013

Comments (0)

Please log in to add your comment.

Report abuse

Transcript of Магическая формула диагоналей

Мы можем использовать подобие чтобы доказать “Магическую формулу диагоналей ”. Пусть, d= НОД (m, n). Значит число прямоугольных плиток пересечённых главной диагональю равно числу прямоугольных плиток пересечённых диагональю прямоугольника к*р умноженное на d, где к*d = m и p*d = n. Число прямоугольных плиток пересечённых диагональю прямоугольника к*р равен к + р – 1 так как к и р взаимно простые числа. Значит, когда мы умножаем число прямоугольных плиток пересечённых диагональю прямоугольника к*р пересечённого d, то мы должны взять число прямоугольных плиток пересечённых главной диагональю. Так число: d*(k+p-1) = d*k+d*p-d= m+n-d, где d = НОД (m, n)
Пример: Пусть m = 36 и n = 24. Если мы будем применять “Магическую формулу диагоналей ”, то число прямоугольных плиток пересечённых диагональю равно 36+24- НОД (36,24n) = 60-12 = 48. Для того чтобы найти число прямоугольных плиток, которые пересекает диагональ прямоугольника, были найдены и доказаны “Магическая формула диагоналей ” и “ Формула подобных прямоугольников Евклида”. И как вы видите “Магическая формула диагоналей ” очень проста и практично в высших измерениях. "Магическую формулу диагонали" можно использовать в строительстве и т.д. В заключении хотелось бы добавить, что данная формула отображает реальность в абстрактной форме и упростит вычисление социальных и экономических явлений (объектов) при многомерности пространства. Заключение Обсуждение и начальные результаты Если прямоугольник разбит на плитки m-1 вертикальными и n-1 горизонтальными линиями параллельным сторонам прямоугольника(где m и n – натуральные числа), то число прямоугольных плиток пересечённых диагональю наидено “Магической формулой диагоналей” и равно: m + n – НОД (m, n), где НОД ( m, n) – наибольший общий делитель чисел m и n.
Еще в 7 веке математиков интересовал вопрос сколько плиток будет пересечено диагональю прямоугольника и в нашей работе были найдены две удивительные формулы которые могут помочь решению этой задачи – это “Магическая формула диагоналей ” и “ Формула подобных прямоугольников Евклида”. Было развито доказательство теоремы о “Магической формулы диагоналей” и было доказано, что “ Формула подобных прямоугольников Евклида” эквивалентна “Магической формуле диагоналей” с использованием алгоритма Евклида для Наибольших Общих Делителей двух чисел.
Цель нашей работы найти число прямоугольных плиток, пересечённых диагональю прямоугольника m x n, и найти новый метод решения в других пространствах. Введение Во время работы мы открыли метод который давал те же результаты, что и "Магическая формула диагоналей", но в начале не было ясно почему он сработал. После исследования этого альтернативного метода, мы поняли что оба метода связаны с алгоримом Евклида.
Евклид был геометром и вероятно, что он нашёл этот метод геометрическим путём. Применим арифметическую и геометрическую форму алгоритма Евклида для чисел 20 и 8:
20=2*8+4, R1 = 4
8=2*4+0, R2 = 0
Значит R1 - наибольший общий делитель чисел 20 и 8. То есть НОД(20,8) = 4 Евкли́д древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения об Евклиде крайне скудны.Его главная работа «Начала» содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвёл итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики. Чтобы решить алгоритм Евклида геометрическим путём, нарисуем прямоугольник 20х8, и используя короткую сторону, рисуем наибольшее возможное количество подобных прямоугольников. Повторяем этот процесс в оставшихся прямоугольниках, пока начальный прямоугольник не покроется подобными прямоугольниками. Сторона наименьшего прямоугольника и является наибольший общий делитель чисел 20 и 8.
Мы применили процедуру “ Формулы подобных прямоугольников Евклида” когда искали число прямоугольных плиток пересечённых главной диагональю. Мы нашли, что если мы нарисуем диагонали этих подобных прямоугольников и сделать из этих подобных прямоугольников один большой подобный прямоугольник, то сторона этого большого подобного прямоугольника является числом прямоугольных плиток пересечённых главной диагональю.
Причина того, что эти две формулы дают один результат в доказательстве алгоритма Евклида. Алгоритм Евклида Суммируем все уравнения: Остаётся: сокращается Магическая формула диагоналей Алгоритм Евклида Задача покрытия в 3-х мерном пространстве Мы хотим найти, сколько прямоугольных призм пересекаются диагональю прямоугольной призмы m х n х z.
В двухмерном пространстве, мы развили “Магическую формулу диагоналей ” считая число вертикальных и горизонтальных линий и вычисляя сколько раз диагональ пересекает их, что было наибольшим общим делителем ширины и высоты. Мы можем сделать то же самое и в трехмерном пространстве. Но мы должны прибавить число, сколько раз диагональ пересекает три плоскости в их точках соединения, что даёт формулу:
m +n+z-[ НОД (m, n)+ НОД (m, z)+ НОД (n, z) ]+ НОД (m, n, z).
Пример: Пусть m = 9, n = 12, z = 3. Если мы будем применять “Магическую формулу диагоналей ”, то число прямоугольных призм пересечённых диагональю прямоугольной призмы 9 х 12 х 3 равняется:
9 +12+3-[ НОД ( 9, 12)+ НОД (9,3)+ НОД (12,3)] + НОД (9,12,3) =24-(9)+3=18 Метод "Формулы подобных прямоугольников Евклида" для 3-х мерного пространства. Чтобы найти “ Формулы подобных прямоугольников Евклида” для 3-х мерного пространства, мы можем обратить “Магическую формулу диагоналей ” в “ Формуле подобных прямоугольников Евклида” используя соотношение m + n - НОД (m, n) =
Результат - , НОД (n,z).
Но эта формула не так легка как “Магическая формула диагоналей ” в 3-х мерном пространстве. На практике эта формула работает, но на данный момент у нас нет доказательств. Сейчас мы работаем над этим.
Full transcript