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Análisis de Circuito RLC, Sub-amortiguado y Críticamente Amo

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by

Jxcinto Pxlmx

on 19 November 2015

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Transcript of Análisis de Circuito RLC, Sub-amortiguado y Críticamente Amo

Matlab
Mediante el uso del programa de simulación Matlab y su herramienta Simulink podemos realizar el análisis de los circuitos y observar su comportamiento a medida que pasa el tiempo.

Mediante el uso del álgebra, es posible conocer de
(4)
las raíces que le dan solución, nombradas
m1
y
m2
. Empleando la fórmula general:

Herramienta perteneciente al Matlab capaz de permitir al usuario realizar diferentes tipos de simulaciones; es un laboratorio virtual; para la simulación de nuestros circuitos empleamos las siguientes librerías y componentes:

Librería Sinks:

-Display
-Scope
Librería Sources:
-Clock
Librería SimPowerSystem:
-Powergui
-Series RLC Branch
-Amp
Circuito
Sobre Amortiguado
Para una mejor visualización de la gráfica de corriente no recurrimos al Scope sino mas bien hacemos uso de un
"To workspace"
para enviar los valores de corriente en función del tiempo y graficarlos a continuacin con la ayuda de la implementación de un
script
y un
código
que nos permita realizar la grafica.
INTRODUCCIÓN
Análisis de Circuito RLC, Sobre-amortiguado y Críticamente Amortiguado
Dar a conocer el funcionamiento de los circuitos RLC en Serie, con diferentes condiciones iniciales, así también como es su comportamiento en forma gráfica.
CIRCUITO RLC
Si se toma el caso del circuito en
paralelo, es preferente obtener una ecuación para el
voltaje y si es el caso de un circuito en serie, una ecuación para la corriente en función del tiempo.
Se debe obtener una Ecuación Diferencial de segundo orden, debido a que se tienen dos elementosque almacenan energía.
De forma rápida, es posible conocer la ecuación diferencial para la corriente del circuito (de antemano se sabe que la corriente es la misma para todos los elementos conectados).
Aplicando LVK alrededor de la malla y sustituyendo las condiciones de corriente del capacitor y voltaje del inductor.
Si se sabe que existe una entrada constante de
E(t),
entonces, diferenciando a
(2)
con respecto del tiempo, se obtiene una ecuación de segundo orden homogénea:
A la Ecuación Diferencial para la corriente, el objetivo ahora es hallarle solución de forma general para la corriente para cualquier valor dado de un
inductor, resistencia y capacitor.
Con ayuda de una ecuación
auxiliar y como constantes a R, C y L:
Es posible representar de otra forma a la estructura de cada solución de la Ecuación Diferencial.

Ahora, se propone lo siguiente:
Donde es llamado
coeficiente de amortiguamiento
y es llamado
frecuencia de resonancia.
Reescribiendo
la ecuación
(5)
se obtiene:
La corriente
dependerá
de los
valores de la resistencia, el capacitor y el inductor dentro del resultado de m1 y m2. Por ello, existen tres casos en los que se involucra al coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia de resonancia.

En cada uno de estos tres casos, el circuito recibe tres distintos nombres:
Sobreamortiguado,
Sub-amortiguado y Críticamente
Amortiguado.

El coeficiente de amortiguamiento, que interviene en los tres casos posibles, es una expresión que determina la medida de la rapidez con la que decae o se amortigua la respuesta natural
(cuando la solución de la Ecuación Diferencial se obtuvo igualando esta a cero) hacia su estado final permanente.
CIRCUITO
SOBRE-AMORTIGUADO
El caso de sobre amortiguamiento se da cuando la siguiente expresión se cumple dentro de las raíces de la ecuación:

Con esta condición, las raíces
m1
y
m2
serán reales y distintas. Con ello, existirá una solución general de la forma:
Asimismo, es posible representar el comportamiento de la corriente en función del tiempo a través de una gráfica:
Como se puede observar en la gráfica anterior, la corriente no presenta un comportamiento oscilatorio, tendiendo hacia el equilibrio al transcurso del tiempo debido a su naturaleza exponencial decreciente.
IMPORTANTE
Una pregunta que se plantea con frecuencia
se refiere al tiempo que transcurre en realidad
para que desaparezca(o se
"amortigüe"
) la parte
transitoria de la respuesta.

En la práctica, muchas veces resulta deseable conseguir que
esta respuesta transitoria tienda a cero tan rápido
como sea posible; esto es, se debe de minimizar el
establecimiento del tiempo ts.

En teoría, desde luego, ts es infinito
debido a que v(t) nunca se establece como cero en un tiempo infinito. Sin embargo, una respuesta despreciable se presenta
luego de que se estableció la magnitud de v(t) en valores que permanecen menores a 1% de su valor absluto maximo |vm|. Se define el tiempo para qu esto ocurra como el
tiempo de establecimiento
Circuito
Criticamente Amortiguado
Al igual que el caso anterior pasamos los valores al Workspace y mediante un script gaficamos la corriente.
CIRCUITO
CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO
Un circuito RLC está críticamente amortiguado cuando la siguiente expresión se cumple dentro de las raíces de la ecuación:

En la práctica, la expresión
(8)
no es posible, debido a que no se puede conseguir valores para la constante de amortiguamiento y la frecuencia de resonancia iguales, por lo tanto, siempre se tendrán como resultado circuitos sub-amortiguados o sobre-amortiguados en la realidad. Volviendo a la teoría, con esta condición, las raíces
m1
y
m2
serán reales e iguales. Por lo tanto, existirá una solución para la corriente en función del tiempo de la forma:

Representando el comportamiento general de la corriente a través del tiempo de un circuito críticamente amortiguado:

En la gráfica anterior, se observa que la corriente comienza a aumentar en los primeros instantes de tiempo y en cierto valor comienza a decrecer (un tiempo mínimo) hasta alcanzar el punto de equilibrio. Por ello se le llama amortiguamiento crítico, debido a que se deja pasar un cierto tiempo y de forma crítica se amortigua para prevenir una oscilación de, en este caso, la corriente que existe en el circuito.
Simulink
Circuitos Sobre y Críticamennte Amortiguados resueltos mediante Ecuaciones Diferenciales y una Señal de Entrada Senoidal en Simulink.
Donde sus respectivas graficas son:
Circuitos Sobre y Críticamente Amortiguados resueltos mediante Ecuaciones Diferenciales y una Señal de Entrada Exponencial en Simulink.
Donde sus respectivas graficas son:
GENERADOR
DE
FUNCIONES
El generador de funciones es un equipo capaz de generar señales variables en el dominio del tiempo para ser aplicadas posteriormente sobre el circuito bajo prueba.

Las formas de onda típicas son las triangulares, cuadradas y senoidales. También son muy utilizadas las señales TTL que pueden ser utilizadas como señal de prueba o referencia en circuitos digitales.
Otras aplicaciones del generador de funciones pueden ser las de calibración de equipos, rampas de alimentación de osciloscopios, etc.

FUNCION EXPONENCIAL

La función exponencial de base e, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma:


siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0, a ≠ 1.
Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen. La que se estudia comúnmente es:








FUNCION SINUSOIDAL

Se llama sinusoide la curva que representa gráficamente la función seno y también a dicha función en sí.

La sinusoide puede ser descrita por la siguiente expresión matemática siguiente: f(x)= a sin(bx+c)+d, que no es la única.

Período (T) en una sinusoide.-
Es el menor conjunto de valores de x que corresponden a un ciclo completo de valores de la función; en este sentido toda función de una variable que repite sus valores en un ciclo completo es una función periódica, sea o no sinusoidal.

Amplitud (a) en una sinusoide.-
Es el máximo alejamiento en valor absoluto de la curva medida desde el eje x.

Fase inicial (c) en una sinusoide.-
La fase da una idea del desplazamiento horizontal de la sinusoide. Si dos sinusoides tienen la misma frecuencia e igual fase, se dice que están en fase. Si dos sinusoides tienen la misma frecuencia y distinta fase, se dice que están en desfase, y una de las sinusoides está adelantada o atrasada con respecto de la otra.
GRACIAS
POR SU
ATENCION
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