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Aplicaciones del algebra lineal en la electronica

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by

wing sing wong

on 16 July 2015

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Transcript of Aplicaciones del algebra lineal en la electronica

Aplicaciones del algebra lineal en la electronica
El álgebra
lineal es una rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y su enfoque de manera más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.
La Electrónica
es una disciplina que abarca un amplio abanico de actividades relacionadas con la generación y transmisión de informaciones por medio de señales eléctricas.
Aplicaciones del algebra lineal.
Una amplia selección de aplicaciones ilustra el uso del álgebra lineal para explicar principios fundamentales y simplificar los cálculos en ingeniería, ciencia computacional, matemáticas, física, biología, economía y estadística. Se puede apreciar el uso del algebra lineal en la electrónica, en la aplicación de las ecuaciones lineales y matrices en diversas áreas de la electrónica.
Se puede definir las diversas aplicaciones del algebra lineal en la electrónica, tales como:
* Circuito eléctrico: Análisis nodal de voltaje.
* Análisis de corrientes por bucles.
* Ley de Ohm.
* Ley de Kirchhoff.

Leyes de Kircchoff
• Primera Ley de Kirchhoff. La suma de las fuerzas electromotrices en una malla cerrada es igual a la suma de las caídas de potencial alrededor de la misma. En otras palabras: la suma de los voltajes alrededor de cualquier circuito cerrado es igual a cero.
• Segunda Ley de Kirchhoff. La suma de las corrientes que fluyen hacia un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen de él. En otras palabras: La suma de las corrientes que entran y salen de un nodo es igual a cero.

Ejemplo 1. Sistemas de dos ecuaciones lineales
Se conecta una batería en serie con una resistencia desconocida y un resistor de 4Ω. Un amperímetro en el circuito muestra la lectura 2.5A. Se repite el experimento sustituyendo el resistor de 4Ω por uno de 4Ω. En este caso el amperímetro muestra una lectura de 1A. ¿Cuál es el voltaje de la fuente y la resistencia desconocida?
Para resolver este problema se aplicará la Primera Ley de Kirchhoff. Si se recorre el circuito en el sentido de las manecillas del reloj, para el primer y segundo casos se tiene las siguientes ecuaciones respectivamente:
E-(2.5)R-(2.5)(4)=0

E-(1)R-(1)(10)=0
E - 2.5R =10
Efectuando las operaciones, estas ecuaciones se convierten en:
E - R =10
Para el circuito serie-paralelo que se presenta a continuación, se desea encontrar las corrientes I1,I2,I3, cuando se dan los siguientes valores para los voltajes y resistencias, respectivamente.
Ejemplo 2. Sistemas de tres ecuaciones lineales
E1=14V,E2=12V,R1=6Ω,R2=5Ω,R3=4Ω
Aplicando la primera ley de Kirchhoff para los circuitos formado por E1,R1, R2 y E2,R2,R3, así como la segunda ley de Kirchhoff para las corrientes I1,I2,I3, se obtiene el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales:
Sustituyendo la ecuación (3) en las ecuaciones (1) y (2), se obtiene:
Llevando a cabo las operaciones correspondientes:
Para resolver este sistema, se multiplica la primera ecuación por 2 y la segunda por 5 para obtener:
Restando la primera ecuación de la segunda se obtiene la ecuación:
Despejando:
Sustituyendo este valor en la ecuación (2) se puede obtener el valor de:
Sustituyendo los valores de I2,I3 en la ecuación (3), se puede encontrar el valor de:
La más básica y más utilizada de todas la leyes de la electricidad, la ley de Ohm, se publicó en 1827 por el físico alemán Georg Simón Ohm en su gran trabajo, La Cadena Galvánica, tratada matemáticamente. Sin la ley de Ohm no podríamos analizar la más sencilla cadena galvánica, pero cuando se publicó el trabajo de Ohm fue calificado por críticos como una maraña de evidentes fantasías, cuyo único fin consistía en detractar la dignidad de la naturaleza.
Ley de Ohm.
El ohmio se define como la resistencia que ofrece al paso de la corriente eléctrica una columna de mercurio (Hg) de 106,3 cm de alto, con una sección transversal de 1 mm2, a una temperatura de 0º Celsius.
Se tiene una fuente de voltaje de 24 voltios corriente directa (24 V DC) conectada a los terminales de una resistencia. Mediante un amperímetro conectado en serie en el circuito se mide la corriente y se obtiene una lectura de 2 Amperios. ¿Cuál es la resistencia que existe en el circuito?
Ejemplo de cómo calcular la Resistencia
Entonces reemplazamos:
24 / 2 = 12 R (ohmios)
Aplicando la ley de Ohm tenemos que:
T / I = R
En este método, se producen y resuelven sistemas de ecuaciones en los cuales las incógnitas son los voltajes en los “nodos principales” del circuito. A partir de estos voltajes nodales, se determinan posteriormente las intensidades de las corrientes en los diferentes ramales del circuito.

Circuito eléctrico: Análisis nodal de voltaje.
• Se cuenta el número de nodos principales o “uniones” del circuito. Sean dicho número.
• Se numeran los nodos como N1, N2,. . ., Nn y los dibujamos en el diagrama del circuito. Los voltajes en estos nodos se denominan V1, V2,. . ., Vn, respectivamente.
• Se escoge uno de estos nodos como la referencia o “tierra” y se le asigna un voltaje de 0.
• En cada nodo excepto en el nodo de referencia escribimos las leyes de la corriente de Kirchoff's de forma que "la suma algebraica de las corrientes que salen de un nodo son iguales a 0". (Al decir “suma algebraica” queremos decir que la corriente que entra al nodo se considera una corriente negativa que sale del nodo.)

Los pasos en el método de análisis nodal son los siguientes:
Por ejemplo, para el nodo a la izquierda, KCL nos lleva a la ecuación que aparece a la derecha del mismo:
Ia + Ib + Ic = 0
La corriente hacia abajo del nodo 1 depende de la diferencia de voltaje V1 - V3 y la resistencia en el ramal.
* Se expresan las corrientes en cada ramal en términos de los voltajes nodales en cada uno de los extremos, utilizando la ley de Ohm (I = V/R). He aquí algunos ejemplos:

En este caso, la diferencia de voltaje a través de la resistencia es V1 - V2 menos el voltaje a través de la fuente de voltaje. De tal modo que la corriente hacia abajo es tal como se muestra.
En este caso, la diferencia de voltaje a largo de la resistencia debe ser 100 voltios mayor que la diferencia V1 - V2. De tal modo que la corriente hacia abajo es como se muestra.
El resultado, después de la simplificación, es un sistema de m ecuaciones con m voltajes nodales desconocidos (donde m es menor en 1 que el número de nodos; m= n - 1). Las ecuaciones son de la siguiente forma:
El sistema de ecuaciones para los m voltajes nodales V1, V2,. . ., Vm se resuelve utilizando el método de eliminación de Gauss o descomposición LU.
Donde G11, G12, . . . , Gnm y I1, I2, . . . , Im son constantes.

El análisis de mallas, es una técnica usada para determinar la tensión o la corriente de cualquier elemento de un circuito plano. Un circuito plano es aquel que se puede dibujar en un plano de forma que ninguna rama quede por debajo o por arriba de ninguna otra. Esta técnica está basada en la ley de tensiones de Kirchhoff. La ventaja de usar esta técnica es que crea un sistema de ecuaciones para resolver el circuito, minimizando en algunos casos el proceso para hallar una tensión o una corriente de un circuito.

Análisis de corrientes por mallas.
1. Asignar una corriente de malla a cada malla (sentido cualquiera) y asignar una polarización a cada elemento del circuito.
2. Establecemos un sentido de circulación siguiendo el cual aplicamos KVL a cada malla. Tendremos tantas ecuaciones como mallas.
3. Usamos las relaciones V/I (Ley de Ohm) para expresar las tensiones en función de las corrientes en las ecuaciones de 2.
4. Sustituimos las ecuaciones del paso 3 en 2.
5. Obtenemos las corrientes de malla.
Pasos a seguir en un análisis por mallas.
Calcular las corrientes de malla (I1, I2) del circuito:
Ejemplo:
1. Se asigna una corriente a cada malla. Se asigna una polaridad a cada elemento.
Malla 2:
Malla 1:
2. Se establece un sentido de circulación y se aplica KVL a cada malla.

3. Escribir las corrientes en elementos compartidos en función de las corrientes de malla usando KCL. Usamos las relaciones V/I en las resistencias.
4. Sustituimos en 2) para tener las ecuaciones de malla en términos de las corrientes de malla y resolver:
Tenemos 2 ecuaciones y 2 incógnitas (I1, I2) Ya podemos calcular las corrientes I1, I2
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