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TRAZADO DE GRÁFICAS USANDO DERIVADAS

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by

Sofía Morales

on 14 May 2014

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Transcript of TRAZADO DE GRÁFICAS USANDO DERIVADAS

Las derivadas son una útil herramienta para examinar las gráficas de funciones.

Son el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto
Elementos a tener en cuenta
Analicemos:

Para el correcto trazado de la gráfica de una función, debemos identificar los siguientes elementos:

* Dominio
* Interceptos
* Puntos críticos
* Intervalos donde la función es convexa o cóncava
* Puntos de inflexión
TRAZADO DE GRÁFICAS USANDO DERIVADAS
¿Cómo trazar una gráfica?
Pasos a seguir:
¿Qué son las derivadas?
-Dominio:

-Interceptos:

-Puntos críticos:

-Intervalos donde la función es creciente o decreciente:

-Intervalos donde la función es convexa o cóncava:

Puntos de inflexión:
Conjunto de valores de
x
para los cuales f está definida
.
Puntos donde la gráfica corta los ejes. El intercepto con Y es f(0),
los interceptos con X son los valores para los cuales f(x)= 0
Puntos donde la primera derivada es cero o no está definida. Máximos y mínimos
Intervalos donde
la primera derivada es positiva o negativa.
Intervalos donde la
segunda derivada es positiva o negativa.
Puntos donde la gráfica cambia su concavidad.
1.) Hallar el dominio
f(x)= X-6X-15X+40
3
2
En este caso el dominio de la función corresponde a todos los números reales R.
2.) Hallar la primera y segunda derivada.
f(x)= X-6X-15X+40
3
2
-
Para derivar se multiplica el exponente por el coeficiente numérico.Al momento de escribir la parte literal con su respectivo exponente le restamos 1 a este último. Y así sucesivamente.
Entonces,
f'(x)= 3x-12x-15
2
f''(x)= 6x-12
3.) Hallar los puntos críticos:
f'(x)= 0
Debemos igualar la primera derivada a cero y simplificarla.
3x-12x-15= 0
2
x-4x-5= 0
2
(x-5) (x+1) = 0
Factorizamos
Igualamos a cero
x-5= 0 x+1= 0
x= 5 x= 0
Igualamos a cero ambas expresiones y obtenemos los puntos críticos.
4.) Hallamos si la función es creciente o decreciente.
Si f'(x) es POSITIVA entonces será CRECIENTE
Si f'(x) es NEGATIVA entonces será DECRECIENTE
f'(x) = 3x-12x-15

f'(x)= 3(x-4x-5)

f'(x)= 3 (x-5) (x+1)

2
Debemos simplificar la expresión.
2
Hallamos factor común.
Factorizamos
GRÁFICO
5.) Hallamos los puntos de inflexión
Los puntos de inflexión los hallamos cuando igualamos la segunda derivada a cero.
Entonces,
f''(x)= 6x-12
Segunda derivada
6x-12= 0

6x=12

x= 12/6
x= 2
Punto de inflexión
6.) Hallamos si la función es cóncava o convexa
7.) Hallamos los puntos principales
(-1,48)
(2,-6)
(5,-60)
x
y
-1
2
5
48
-6
-60
x-6x-15x+40= 0
3
2
x= -3,1 x= 1,8 x= 7,3
Cortes con el eje x
Cortes con el eje y
y= 40
x=0
y=0
TRAZAMOS EL GRÁFICO
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