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칸토어가 들려주는 무한이야기(연속체 가설)

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by

Min Woo Han

on 30 November 2015

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Transcript of 칸토어가 들려주는 무한이야기(연속체 가설)

무한
집합
이란?
집합

대응
개념
두 집합이 있을 때, 한 집합의
원소가 다른 집합의 원소와 짝을 이루는 것을 말한다.
집합 X의 원소가 집합 Y의
원소에 어떤 주어진 관계에
의하여 일대일로 짝지어지는
것을 집합 X에서 집합 Y로의
대응
(전단사 함수)라고 한다.
집합
집합:어떤 조건이 주어졌을때, 그 조건이 가리키는 대상이 분명한 것들의 모임
칸토어가 들려주는 무한이야기
책소개
무한(
infinitie
)이란?
게오르그 칸토어(Georg Cantor)
출판일자:2008년 5월 30일
이름:게오르크 페르디난트 루트비히 필리프 칸토어 Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantorʁ
생애:1845년 3월 3일~1918년 1월 6일
주요업적:집합론,대각선 논법
연속체가설 창시
수학에서, 무한 집합(infinite set)은 원소의
개수가 무한한 집합으로,원소의 개수가 유한한
유한 집합이 아닌 모든 집합이다.무한 집합은 크게
가산 무한 집합과 비가산 집합으로 나눌 수 있다.
그리고,무한집합에서는 원소의 개수라고
부르지않고 농도라고 한다,
저자:안수진
집합의 크기비교 및 자연수와 정수의 대응
책소개:이 책은 수학자 칸토어가 수학 언어를 통해 무한이란 무엇이며 무한 세계란
어떤 것인가에 대하여
강의형식을 통해 설명한다.
부분집합과 공집합
사전적 의미:여러 분야에서 서로 다른 의미로 쓰이지만, 대체로 끝이
없거나 한없이 커지는 상태를 말한다
수학적 의미:N과R이 있을때 R을 아무리 큰 수로 만들어도 N이 항상 더 크다면 N을 무한이라고 한다
Ex)자연수에서 3보다 큰 수의 모임
원소:집합을 이루는 대상 하나하나를 말한다
원소b가 집합A의 원소일 때 b∈A이라고 표기
교집합(∩):두 집합의 중복되는 원소들의
집합을 교집합이라고 한다
♥욱짱
THE
정기♥










Ex) A={1,2,3},B={2,3,4} 일 때 A∩B={2,3}

Thank you for watching
our presentation
1.원소나열법/집합의 원소를
나열해주는 것,주로 크기가 작을 때 쓴다.
집합의 표기
Ex)A={1,2,3,4,5 }
2.조건제시법/조건을 제시해주는 것,크기가
크거나 원소가 무한개이면 쓴다
Ex){ xㅣx는 5 이하인 자연수}
집합 연산자










합집합(∪):두 집합의 원소들을 모두 모은
집합을 합집합이라고 한다
Ex) A={1,2,3},B={2,3,4} 일 때 A ∪ B = {1,2,3,4}
원소의 개수:A집합 원소의 개수가 x개 일때,n(A)=x
공집합:원소가 아무것도 없는 집합으로 n(A)=0이다
표기법으로 표시하자면 A={ø}이다
부분집합:한 집합안에 있는 원소로 만들 수 있는 집합
(A라는 집합의 원소가 n개일 때 집합A의 부분집합의 개수:2ⁿ)
가산집합과 비가산집합
가산집합이란?
자연수의 집합으로의 단사 함수가 존재하는 집합
어떤 집합이 가산 집합인 경우, 그 집합을
셀 수 있다
혹은 가산 개의 원소가 있다고 정의한다
대응의 종류
일대일 대응
일의 대응
일대다 대응
두 집합X,Y의 원소가 전부 서로 하나하나 짝지어지는 것을 일대일 대응이라고 한다
Ex)한국의 사람과 주민등록번호의 개수
두 집합X,Y의 원소가 서로 하나하나 짝지어지는 것을 일의 대응이라고 한다
Ex)손님들의 수와 준비된 의자의 수
두 집합X,Y의 원소에서 X의 원소 2개 이상이 Y의 원소 1개에 짝지어지는 것을 일대다 대응이라고한다
크기의 비교
두 집합X,Y가 있을 때 서로
일대일 대응 된다면 그 함수의 크기는 같다
그러나 무한집합은 모두 원소가 무한하기 때문에
농도로 따진다.가산집합의 농도는 알레프-0이다.
자연수와 정수의 크기 비교
홀수 자연수 n에 대해서는 (n-1)/2 를 대응하고 짝수 자연수 n에 대해서는 -n/2를 대응하면 일대응 대응이 성립한다.따라서 둘의 크기와 농도가 같다.
그러므로 정수 집합은 가산집합(셀수있는 집합)이다
실수와의 대응관계
실수와 자연수의 집합을 대응해보면 정수,유리수집합과 다르게 대응되지 않는다.
대응을 했을 때 실수가 더 크게 나오므로 실수의 농도(초한수)는 알레프-1이다
냉대 그리고 연속체가설
이러한 무한집합을 담은 칸토어의 집합론은 많은 비방을 받았는데 심지어 자기의 선생이 였던
크로네커 교수는 그를 정신병자라고 비방했다.
이러한 비방속에서 살던 칸토어는
정신불안증 증세를 보이게 되고
정신병원에 입원하게 된다
연속체 가설
이러한 비방속에서도 칸토어는 어떤 한 가설을
제시했다.그 가설이 바로 연속체 가설이고
그 가설을 후대에 쿠르트 괴델의 불완전성 정리로 인해 증명도 반증도 못하는 문제임이 밝혀진다
연속체 가설:집합론에서, 연속체 가설은 실수의
모든 부분집합은 가산 집합이거나 아니면
실수와 크기가 같다는 명제이다.
즉,알레프-0과 알레프-1사이의 농도를 가진
무한집합은 존재하지않는다는 가설이다.집합론의 표준적 공리계로는 증명할 수도, 반증할 수도 없다.
명언
수학의 본질은 그 자유로움에 있다.
-Gerog Cantor-
그 누구도 칸토어가 우리에게 선사해준
집합의 낙원으로부터 우리를 끌어낼 수 없다
-David Hilbert-
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