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Willkommen am BRG Kepler

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by

Carina Pammer

on 24 January 2016

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Transcript of Willkommen am BRG Kepler

NATURWISSENSCHAFTEN
MATHEMATIK
MUSIK UND
DIE KEPLERSPATZEN

EINMAL KEPLER - IMMER KEPLER?
BIOLOGIE
WILLKOMMEN AM BRG KEPLER
TECHNISCHES WERKEN
Eine willkommene Abwechslung zum Lernen in den verschiedenen Fächern, zur „Kopfarbeit“, bietet die Arbeit mit den Händen.
Welche interessanten Dinge da im Unterricht hergestellt werden, zeigen Ihnen die folgenden Schüler und Schülerinnen.

Unsere Schule setzt einen Schwerpunkt in Mathematik.
Wie SchülerInnen in diesem Fachbereich über den normalen Unterricht hinaus gefördert werden, erfahren Sie in den Interviews mit Prof. Robert Geretschläger und mit SchülerInnen, Mathematik-Olympioniken, die das zusätzliche Angebot an der Schule gerne nutzen.
Schließlich gibt es Aufgabenstellungen aus verschiedenen Wettbewerben (mit Lösungen)

Informationen zum Lehrangebot, zu den Wettbewerben und Erfolgen finden Sie außerdem hier
http://www.brgkepler.at/~mathematik/

Interview mit
Mag. Dr. Robert GERETSCHLÄGER
Interview mit
Carina Pammer
Beispielaufgabenstellungen Duell:
1)
Mit Hilfe des Satzes von Vièta erhalten wir 3 Gleichungen:
–a²b²= -ab  ab(ab-1)=0
ab+a²b+ ab²= b  ab(1+a+b)=b
–a-b-ab= -a  b(a+1)=0

Betrachtet man (1), so erkennt man, dass ab entweder 1 oder 0 sein kann.

Fall 1) ab=0
a=0, durch (2)und (3) muss auch b=0 sein.
b=0, durch (2)und (3) kann a jede reelle Zahl sein.
(a, b) kann ist also (a, 0), wobei a eine reelle Zahl ist.
Setzt man 0 für b ein, erhält man die Gleichung: x³+ax²=0, die drei reelle Lösungen (-a, 0, 0) hat.

Fall 2) ab=1
Weder a noch b dürfen Null sein. Da bei (3) a+1=0 gelten muss, ist a=-1. Daher muss b=-1 sein, also erhalten wir für (a, b) = (-1, -1)
Hier lautet die Gleichung: x³-x²-x+1=0 mit den Lösungen (-1, -1, 1).
Es gibt also für (a, b) folgende zwei Möglichkeiten: (a, 0) und (-1, -1)

2)
Sei die Bezeichnung für den zufällig gewählten Punkt auf AB P.
Eine zu BC parallele Gerade durch P schneidet die Strecke AC im Punkt E. Eine andere Parallele zu AC durch P schneidet die Strecke BC im Punkt F.
Das Dreieck ∆ADE ist daher ähnlich zum Dreieck ∆ABC, sowie ∆BDF ähnlich zu ∆BAC ist.
Da v und ha beide normal auf BC (und auf DE) stehen und daher parallel sind, ist der Normalabstand von A auf DE gleich ha - v. Analog gilt für den Abstand von B auf DF, dass die Länge hb - u ist.
Fall 1) ha ≥ hb -> min(ha, hb) = hb, max(ha, hb) = ha oder min(ha, hb) = max(ha, hb) = ha = hb
Das Verhältnis der Höhen von ∆ABC gilt auch für die ähnlichen Dreiecke ∆ADE und ∆BDF, also
ha - v ≥ u
v ≥ hb - u
Fall 2) hb > ha -> min(ha, hb) = ha, max(ha, hb) = hb oder min(ha, hb) = max(ha, hb) = ha = hb
Wie oben gilt das Verhältnis auch für ∆ADE und ∆BDF, also
u ≥ ha - v
hb - u ≥ v
ad 1) u ≤ ha - v  u + v ≤ ha
v ≥ hb - u  v + u ≥ hb
hb ≤ u + v ≤ ha  min(ha, hb) ≤ u + v ≤ max(ha, hb)
ad 2) u ≥ ha - v  u + v ≥ ha
v ≤ hb - u  v + u ≤ hb
ha ≤ u + v ≤ hb  min(ha, hb) ≤ u + v ≤ max(ha, hb)

3)
k^2 l^2-m^2 n^2=2015+l^2 m^2-k^2 n^2
k^2 l^2-m^2 n^2-l^2 m^2+k^2 n^2=2015
(k^2-m^2 )*(n^2+l^2 )=2015
Es gibt 4 Möglichkeiten, wie man 2015 als Produkt aufschreiben kann:
1*2015,5*403,13*155,31*65
Die erste Möglichkeit(1*2015) kann man sofort ausschließen, da 1 weder als Summe, noch als Differenz zweier Quadratzahlen gebildet werden kann. Für (k^2-m^2) bzw. (n^2+l^2) gibt es also nur noch sechs mögliche Werte.
Tatsächlich kann man von diesen sechs nur drei als Summe darstellen, eine davon auf zwei verschiedene Arten.
(n|l) kann also (1│2),(2│3),(1│8) oder (4|7) sein, wobei n und l vertauscht werden können, das ändert allerdings nichts an der Summe von k, l, m und n.
Da (n^2+l^2 ) nun entweder 5, 13 oder 65 ist, muss (k^2-m^2 ) die Werte 403, 155 0der 31 haben.
(k^2-m^2 )=(k-m)*(k+m)
(k-m)*(k+m)=31=1*31 => k=16,m=15
(k-m)*(k+m)=155=1*155=5*31 => k=78,m=77;k=18,m=13
(k-m)*(k+m)=403=13*31=1*403 => k=202,m=201;k=22,m=9
k+l+m+n={34,36,40,42,160,406}

Der Pi-Tag
Der 14.3.2015 war ein ganz besonderer Tag: In englischer Schreibweise bildete die Uhrzeit um 9:26 die ersten 7 Kommastellen der Zahl Pi ab (3/14/15,9:26).Zu diesem besonderen Ereignis lud man uns, die Mathematikolympioniken des Mathematischen Duells in der „University of Silesia“ in Katowice (Polnisch: Uniwersytet Śląski w Katowicach) ein, an einer mathematischen Schnitzeljagd teilzunehmen. Nach einem interessant gestalteten halbstündigen Vortrag über verschiedene Verschlüsselungsmöglichkeiten von einem der dort angehörigen Professoren wurden alle am Duell teilnehmenden Schüler in verschiedene Gruppen zusammengelost, sodass nicht mehr als zwei Schüler pro Schule in einer Gruppe waren. Jene Gruppen wurden dann verschiedenen Familien der Serie „Game of Thrones“ zugeordnet. Nun galt es, geheime Botschaften, ebenfalls im „Game of Thrones“ – Stil mit den neu erlernten Fähigkeiten in der neu formierten Gruppe zu entschlüsseln und Rätsel zu lösen. Die „Familie“, die dies am schnellsten schaffte, hatte gewonnen. Anschließend wurden noch eine Menge Pizzen und Saft gebracht und jeder konnte sich bedienen, bevor es nach Chorzow weiterging und es erst so richtig spannend wurde, denn dort wurden die Ergebnisse des mathematischen Duells verkündet.

Eines der Rätsel:
Ein Mann verlässt sein Haus.
Erst läuft er 1 Kilometer in Richtung Süden.
Dann läuft er einen Kilometer in Richtung Westen.
Dann dreht er sich erneut und läuft wieder einen Kilometer, um genau vor seinem Haus zum Stehen zu kommen.
Neben seinem Haus wartet ein Bär auf ihn.
Welche Farbe hat dieser?

Teambewerb der Kategorie B
Lösungen:
1.) Angabe:

Bestimme alle 5-tupel (a,b,c,d,e) aus den positiven ganzen Zahlen, sodass jeder dieser Brüche
A:(a+b)/(c+d) B:(b+c)/(d+e) C:(c+d)/(e+a)
D:(d+e)/(a+b) E:(e+a)/(b+c) eine ganze Zahl beschreibt.

1) Soll wirklich jeder dieser Brüche ganzzahlig sein, so muss
1. laut Bruch A a+b≥c+d,
2. laut Bruch B b+c≥d+e,
3. laut Bruch C c+d≥e+a,
4. laut Bruch D d+e≥a+b und
5. laut Bruch E e+a≥b+c gelten.

Addiert man nun alle Ungleichungen (1.-5.), erhält man:
2(a+b+c+d+e)≥2(a+b+c+d+e).

Daraus folgt, dass Gleichheit gelten muss!

1. a+b=c+d
2. b+c=d+e
3. c+d=e+a
4. d+e=a+b
5. e+a=b+c

a) Aus 1. und 3. erhält man: a+b=c+d=e+a => a+b=e+a => b=e
b) Aus 1. und 4. erhält man: c+d=a+b=d+e => c+d=d+e => c=e,
durch a) => b=c=e
c) Aus 3. und 5. erhält man: c+d=e+a=b+c => c+d=b+c => d=b,
durch b) => b=c=d=e
d) Aus 2. und 5. erhält man: d+e=b+c=e+a => d+e=e+a => d=a,

Durch c) und d)=> a=b=c=d=e

Daraus folgt, dass jede positive Zahl n, mit n=a, n=b, n=c, n=d und n=e, die Brüche A bis E ganzzahlig löst.
Anders ist dies nicht möglich, da nur mit Äquivalenzumformungen gearbeitet wurde.

2.) a) Angabe:

Jacek hat vier Stöcke mit ganzzahliger Länge, mit denen er auf einem Tisch ein konvexes Viereck legt. Egal, welche drei von den vier Stöcken er nimmt, er kann aus ihnen nie ein Dreieck bilden. Wie groß ist der kleinstmögliche Umfang dieses Vierecks?

2a)
Nimmt Jacek die Stöcke mit den Längen 1, 1, 2 und 3, so lässt sich daraus das Viereck mit dem kleinsten Umfang, nämlich 7, legen, da:

1.) mit keinem dieser vier Stöcke ein Dreieck gebildet werden kann.

2.) kein kleineres solches Viereck vorhanden ist, da er sonst entweder drei Stöcke der Länge 1, oder zwei Stöcke der Länge 2 und mindestens einen Stock der Länge 1 hätte. In beiden Fällen wäre nun die Bildung eines Dreiecks möglich, entweder ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 1, oder ein gleichschenkeliges Dreieck mit zwei Seiten mit der Länge 2 und einer Seite mit der Länge 1.

2b)
Nimmt Jozef sechs Stöcke mit den Längen 1, 1, 2, 3, 5 und 8, so lässt sich daraus das Sechseck legen, der kürzest mögliche längste Stock hat die Länge 8, da:

1. sich mit keinen drei dieser sechs Stöcke ein Dreieck bilden lässt.
2. kein kleineres solches Sechseck vorhanden ist, da es laut a) 1, 1, 2 und 3 die kleinstmögliche Art ist, ein solches Viereck zu legen, und andernfalls er mindestens einen Stock der Länge 3 oder 4 hat und daher ein Dreieck mit den Stöcken 2, 3 und 3/4 bilden könnte. Also muss der fünfte Stock die Länge 5 haben. Aus demselben Grund (andernfalls lässt sich Dreieck mit 3, 5 und 5/6/7 bilden) muss der längste Stock die Länge 8 haben.

2b)
Jozef hat sechs Stöcke mit ganzzahliger Länge, mit denen er auf einem Tisch ein konvexes Sechseck legt. Genau wie bei Jacek ist es nicht möglich, mit beliebigen drei dieser Stöcke ein Dreieck zu bilden. Wie lang ist der längste Stock dieses Sechsecks?
3.) Angabe:

Bestimme die Anzahl aller sechsstelligen Palindrome, die durch sieben teilbar sind. (Ein sechsstelliges Palindrom ist eine Zahl in der Form abccba, wobei a≠0, b und c Ziffern jener Zahl sind.)


3)
abccba= 100001*a+10010*b+1100*c =
7*(14286*a+1430*b+157*c)-(a-c)

Soll diese Zahl nun durch 7 teilbar sein, muss (a-c) durch 7 teilbar sein.
Da a (≠0) und c Ziffern sind, muss gelten: -8 ≤ (a-c) ≤ 9.

Daraus folgt, dass (a-c) Element aus {-7,0,7}.

Für (a-c) = -7 gibt es die Lösungen a=1 und c=8, bzw. a=2 und c=9
Für (a-c) = 0 gibt es die Lösungen a=c=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 oder 9
Für (a-c) = 7 gibt es die Lösungen a=7 und c=0, bzw. a=8 und c=1, bzw. a=9 und c=2.

Insgesamt gibt es also 14 Möglichkeiten für a und c. Da b auch eine Ziffer ist, gibt es für b 10 Möglichkeiten.

=> Es gibt 14*10 = 140 sechsstellige Palindrome, die durch 7 teilbar sind.



Auch wenn das BRG Kepler ein Realgymnasium ist, spielen Sprachen eine wichtige Rolle: hier wird Englisch, Französisch, Latein und Spanisch unterrichtet.
Neben den Schulsprachen sprechen unsere Schüler und Schülerinnen viele andere Sprachen, wie etwa Serbisch, Bosnisch, Kroatisch, Türkisch, Kurdisch, Persisch, Holländisch, usw.
Wir schätzen diese Vielfalt und glauben, dass es in unserer Zeit wichtig ist, mehrere Sprachen zu sprechen.
In voXmi-Projekten beschäftigen sich Schüler und Schülerinnen mit Mehr-sprachigkeit und kultureller Vielfalt. Im Schuljahr 2014/15 haben SchülerInnen der 5.Klassen eine Radiosendung zum Thema „Heimat“ gestaltet.
Hier der Link dazu: http://radioigel.at/heimat/

Hören Sie mehr darüber, wie die Sprachen unterrichtet werden und überzeugen Sie sich von der Sprachkompetenz unserer Schüler und Schülerinnen.

SPRACHEN UND VOXMI
Schulsprachen - Schülersprachen
Englisch
Interview mit Lara
Französisch
Interview mit
Mag. Carina WILFLING
Latein
Spanisch
Interview mit
Mag. Cornelia SCHRÖPEL
ASTRONOMIE
Das Bundesrealgymnasium Kepler besitzt eine eigene Sternwarte, die im Unterricht im Rahmen von „Science“
(4. Klasse) genutzt wird und in der SchülerInnen im Freifach „Astronomie“ arbeiten können.
Auch Interessierten steht die Sternwarte nach Voranmeldung offen.

Mehr Informationen dazu  http://www.keplersternwarte.at


Interview mit
Mag. Norbert STEINKELLNER
Ein Projekt der voXmi-Gruppe 2014/15 der 5a: Melanie Waidacher, Sebastian Liponik, Martin Reich, Sebastian Makovec, Jan Pitter. Unter freundlicher Mithilfe von Carina Pammer (6a)
Interview mit
Mag. Helga KULAC
Die Naturwissenschaften sind neben der Informatik ein Schwerpunkt in der Ausbildung am BRG Kepler, der mit vielen Projekten interessant gestaltet wird. So zum Beispiel wurde in Zusammenarbeit mit der Universität ein Sparkling Science – Projekt zum Thema „Pollen / Feinstaub – gemeinsame Allergieauslöser?“ (2014 – 2016) durchgeführt. Sehen Sie Bilder dazu.

Überdies besitzt das BRG Kepler als einzige Schule in Österreich eine Sternwarte, die im Unterricht genutzt wird, aber auch Interessierten außerhalb der Schule offensteht.

Erfahren Sie mehr in Interviews mit Prof. Kulac und Prof. Steinkellner oder auf der homepage
http://www.brgkepler.at/~science/

Neben dem Schwerpunkt „Informatik“, der in der Oberstufe gewählt werden kann, ist besonders die Robotik ein Highlight für viele SchülerInnen.
Dass sie mit vollem Eifer bei der Sache sind, ist mit ein Grund, dass sie in Bewerben oft unschlagbar bleiben und jedes Jahr zu internationalen Wettbewerben fahren können.
Interessiert? Hören Sie das Interview mit Prof. Nicole Bizjak oder informieren Sie sich auf http://www.brgkepler.at/~robotik/home/

Interview mit
Mag. Nicole BIZJAK
INFORMATIK
Das BRG Kepler hat in Graz eine lange Geschichte, und es scheint für manche Menschen eine attraktive Schule über Generationen hinweg zu sein, oder ganze Geschwisterreihen besuchen es.
Warum das so ist? Hören Sie mehr...

DIREKTOR
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Mag. Ruth LANGMANN
Nr.25 O Fortuna
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Mag. Ulrich HÖHS
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Interview mit
Mag. Diethard TRIEBL
Interview mit
Mutter und Tochter Prach
Interview mit Herrn Dr. Axmann
NACHMITTAGSBETREUUNG
Schülersprachen
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