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Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales - Métodos iterativos

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by

Mabel Leiva

on 19 August 2014

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Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Formas de resolver sistemas de ecuaciones lineales
Métodos iterativos
Las técnicas iterativas buscan soluciones aproximadas a sistemas de ecuaciones lineales mediante aproximaciones sucesivas a la solución, empezando de una estimación inicial.
Convergencia del método
Método de Jacobi
Para explicar el método de Jacobi, tomaremos como ejemplo un sistema de ecuación con tres incógnitas

Método de Gauss-Seidel
El método Gauss – Seidel es el método iterativo comúnmente usado, difiere con el método de Jacobi porque en cada iteración utiliza el valor actualizado de las variables.

Métodos Directos
Método de eliminación de Gauss
Método de eliminación de Gauss-Jordan
Métodos Iterativos
Método iterativo de Gauss-Jacobi
Método iterativo de Gauss-Seidel
Elementos necesarios para realizar una iteración
Criterio de convergencia del método de Jacobi
Se deben realizar los intercambios de filas necesarios de modo a que el sistema de ecuaciones quede
diagonalmente dominante
.

Para que un sistema de ecuaciones sea diagonalmente dominante, el valor absoluto del coeficiente de la diagonal principal en cada una de las ecuaciones debe ser mayor que el valor absoluto de los otros coeficientes de la ecuación.
Ejercicio
Método de Gauss-Seidel
Observación: Consultar libros guía para hacer la iteración.
Para explicar el método de Gauss-Seidel, volveremos a tomar como ejemplo un sistema de ecuación con tres incógnitas

Para utilizar métodos iterativos en la solución de problemas es necesario con contar con:
- Valores iniciales para las incógnitas.
Las cuales son una aproximación inicial a la solución. En general se denota como:

-
Cálculo del error relativo porcentual:



-
Un criterio de parada.
En general se tiene una tolerancia de error que nos establece el momento de detener la iteración:
Tal que, se detiene la iteración cuando el valor absoluto del error relativo porcentual es menor a la tolerancia del error.
Cálculo de la tolerancia del error
Si tenemos un problema en el que sabemos la cantidad de cifras significativas que debemos utilizar pero que no nos indica ningún valor para la tolerancia del error, simplemente hay que calcular




Donde
n
es la cantidad de cifras significativas.
Se entiende por convergencia de un método numérico la garantía de que al realizar un “buen número” de iteraciones, las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cada vez más al valor verdadero buscado.

Criterio de convergencia del método Gauss-Seidel
Se cumple el mismo criterio del método de Jacobi. Se deben realizar los intercambios de filas necesarios de modo a que el sistema de ecuaciones quede
diagonalmente dominante
.

Para que un sistema de ecuaciones sea diagonalmente dominante, el valor absoluto del coeficiente de la diagonal principal en cada una de las ecuaciones debe ser mayor que el valor absoluto de los otros coeficientes de la ecuación.
Ejercicios
Observación: Consultar libros guía para hacer la iteración.
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