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derivacion de funciones vectoriales

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by

gloria solis

on 9 October 2013

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Transcript of derivacion de funciones vectoriales

Cálculo multivariable
Derivación de funciones vectoriales
DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Una función vectorial es una función que transforma un numero real en un vector:
F : R −→ R3, definida como F(t) = (x(t), y(t), z(t)),
donde x(t), y(t) y z(t) son funciones reales de variable real.
Ası, se dice que F es continua, derivable o integrable, si lo son x(t), y(t) y z(t).
Reglas de derivación
Algunas reglas de derivación de estas funciones relacionadas con las operaciones entre vectores son
las siguientes (suponemos que F y G son dos funciones vectoriales, u es una función real de variable real y λ ∈ R):
Si r(t) es un vector de posición de una
partícula que se mueve a lo largo de una
curva suave en el espacio, entonces:
Ejemplo
El vector r(t) = 3 cos tˆi+3 sin tˆj+t2k da la
posición de un cuerpo en movimiento en el tiempo t. Encuentre la rapidez del cuerpo y su dirección cuando t = 2 ¿En que tiempo son ortogonales los vectores velocidad y aceleración del cuerpo?
La derivada de un vector a respecto de un
escalar t, es un vector, cuya dirección es
tangente a la curva descrita por los extremos
del vector a, en el punto considerado, y cuyas componentes son las derivadas, respecto del
escalar, de las componentes de a.
Representación gráfica
La representación gráfica de una función vectorial es aquella curva C que describen los puntos finales de los vectores que forman parte de la función
para toda t que pertenece al dominio de la función.
a) la velocidad es la derivada de la posición v(t) =dr(t)dt

b) la rapidez es la magnitud de la velocidad kv(t)k

c) la aceleración es la derivada de la velocidad a =dv(t)dt =d2r(t)dt

d) el vector v(t)kv(t)k es una dirección de movimiento en el tiempo t.
Como en el caso escalar la derivada de una función vectorial constante, r(t)=k, es el vector 0. En este caso no existe movimiento, la curva descrita se reduce al extremo del vector k. No ocurre lo mismo si la función es de longitud constante ||r(t)||=k. En este caso se tiene:
r(t).r(t)=k
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