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Gráficos por computadora

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by

Urss Ruiz

on 3 June 2014

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Transcript of Gráficos por computadora

Fundamento teórico
Matrices Arreglos rectangulares de términos infinitos caracterizados por tener un número n de filas y un número m de columnas (orden
mxn
).

Introducción
Gráficos por computadora

Álgebra lineal Área activa de las matemáticas que establece una conexión dentro y fuera de éstas por medio de conceptos tales como: vectores, sistemas de ecuaciones lineales, matrices, todo esto reducido a espacios vectoriales y transformaciones lineales. Sus aplicaciones implican diversos campos de la ingeniería, así como análisis funcionales, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficos por computadora, entre otras.
Gráficos por computadora Encargados de diversas funciones que van desde el diseño hasta el procesamiento de imágenes, conversión en gráficos por medio de rasterización, entre otros.
Determinante de una matriz
Posible únicamente para matrices cuadradas. (
nxn
)
Denotado por |A| o Det(A)
Regla de Sarrus
Propiedades
A es invertible si su determinante es distinto de 0
Sea k un escalar. Det(kA) = kDet(A)
Si A tiene un renglón o columna con únicamente ceros, Det(A) = 0
Det(A) = Det(A transpuesta)
Det(I) = 1
Si A tiene dos columngas o renglones iguales, Det(A) = 0
Combinaciones lineales
Si V es un espacio vectorial, v1,...,vn los elementos de V. Y existen números x1,...,xn tales que su combinación lineal es:

V = x1v1,...,xnvn


Espacios Vectoriales y Conjuntos
Conjunto Colección de objetos llamados elementos.
Espacio Vectorial Conjunto de objetos que puede ser multiplicado por números, cumpliendo distintas características.
Tipos de matrices
Matriz cuadrada (H)
Matriz nula (0)
Matriz diagonal (E)
Matriz identidad (I)
Matriz triangular (K)
Matriz rotación
Operaciones con matrices
Suma
Resta
Multiplicación
Dimensión de un espacio vectorial
Dimensión de un espacio vectorial Número de elementos de una base que lo genera.
Todas las bases de un espacio vectorial deben de tener el mismo número de elementos.
El rango de una matriz
Es posible encontrarse por medio de determinantes, ya que así encontramos la independencia lineal.
Mapeos
Mapeo Asociación en la cual a cada elemento de un conjunto S se le asocia uno un elemento de otro conjunto Y.
F: S Y
Un mapeo es lineal si:
L(u+v) = L(u) + L(v)
L(cv) = cL(v)
Con u y v perteneciente a V y c un escalar

Mapeo compuesto
Sean F:U V y G:V W dos mapeos, es posible hacer un mapeo compuesto de U a W.
(GoF)(
u
) = G(F(
u
)) para todo u perteneciente a U

Es posible hacer mapeos compuestos de dos o más mapeos.
Si dos mapeos son lineales, su composición es lineal.
No conmutan , a menos que sean invertibles.
Aplicación: Gráficos por computadora
Gráficos por computadora Imágenes desplegadas o animadas en una pantalla de computadora, como parte de la informática visual.
Gráficos en 2D
Existen dos acercamientos:
Vector:
Almacena datos geométricos, posiciones de coordenada de puntos y las líneas que lo forman.
Necesitan ser convertidos a una imagen ráster para visualizarse.
Ráster:
Mapas de bits
Rejilla bidimensional de pixeles.

Gráficos en 3D
Basados en las gráficas de vectores.
Almacena la posición de los puntos y lineas para construir polígonos tridimensionales, que son la base de todos los gráficos 3D.
Aplicaciones
Ampliamente difundidas y aumentan con rapidez:
El diseño asistido por una computadora (CAD).
Procesamiento de imágenes.
Animación
Programas computacionales interactivos producidos para los negocios y la industria.
Diseño asistido por computadora (CAD)
Diseña prototipos de ciertos productos.
Implementa serie de modificaciones.
Procesamiento de imágenes
Las imágenes son reales
Captadas por un dispositivo
Se someten a digitalización
Transformaciones matriciales
MATLAB
Animación
No abarca únicamente el movimiento de objetos.
Cambios de luz, color, transparencia, entre otros.
Industria del entretenimiento.
Publicidad
Reproducción de fenómenos físicos 3D.
Programas computacionales interactivos producidos para los negocios y la industria
Despliegues de pantalla
Despliegue de gráficos de datos
Autoedición
Producción de diapositivas para presentaciones comerciales y educativas.
Problemática
La complejidad del mundo real dificulta la obtención de imágenes con un alto nivel de realismo.
Se requiere hardware específico, el cual es muy costoso.
Se requiere gran capacidad de almacenamiento.
Aproximaciones matemáticas.
Ejemplo 1
Una figura plana se gira en sentido contrario a las manecillas del reloj en un ángulo teta por medio de la transformación matricial
f:R² R² definida por f(
v
) = A(
v
) donde
Ahora supongamos que queremos rotar la parábola y = x² en sentido contrario a las manecillas del reloj en un ángulo de 50°.
Primero elegimos algunos puntos:
(-2,4) (-1,1) (0,0) (1/2,1/4) (3,9)
Luego calculamos la imagen de estos puntos. De esta manera, si
Calculamos los productos con cuatro cifras decimales para mayor precisión.
A continuación trazamos los puntos de la imagen.
(-4.3498, 1.0391) (-1.4088, -0.1233)
(0,0) (0.1299, 0.5437) (-4.9660, 8.0832)
Ejemplo 2
Para lograr la ilusión de una rueda girando, podemos rotar los rayos en ángulo teta1, luego en un ángulo teta2.
Sea
u
= el 2-vector que representa el rayo de la rueda y f:R² R²
la transformación matricial definida por f(
v
) = A(
v
) donde


Y sea f:R² R² la transformación matricial donde g(
v
) = B(
v
) donde



La sucesión de rotaciones del rayo u se representa mediante:
g(f(
u
)) = g(A
u
) = B(A
u
)
El producto A
u
se realiza primero y genera una rotación de
u
en un ángulo teta1, luego el producto de B(A
u
) genera la segunda rotación. Tenemos
B(Au) =
B
(
a1col1
(A) +
a2col2
(A) =
a1Bcol1
(A) +
a2Bcol2
(A)
Siendo ésta última expresión una combinación lineal de los vectores columna
Bcol1
A y
Bcol2
A, que podemos escribir como el producto


Con base en la definición de la multiplicación de matrices
[
Bcol1
(A)
BCol2
(A)] = BA
así que tenemos
B(A
u
) = BA(
u
)
Conclusión
A lo largo del curso, los conceptos aprendidos parecían abstractos. Sin embargo, conociendo las aplicaciones, podemos hacer un uso sencillo de todas las definiciones y procedimientos para obtener resultados tangibles, que van más allá de sólo el álgebra lineal, resultados con los que vivimos y de los que hacemos uso día a día. Actualmente los gráficos por computadora son elementales para nuestra vida, desde las imágenes utilizadas para nuestros trabajos y las presentaciones para éstas, incluyendo videos y animaciones como complementos. Por otro lado, desde el punto de vista médico, podemos ver nuestras radiografías gracias al procedimiento que se basa en el procesamiento de imágenes que, como ya vimos, no es más que un mapeo de un plano tridimensional a uno bidimensional. En general, sólo se trata de unir todos estos criterios y saber cómo aterrizarlos para, como siempre se intenta, implementar cada vez más herramientas cuyo objetivo sea el avance tecnológico que realice una cierta tarea más rápida y más precisa que a como la pueda realizar el hombre, todo para beneficio de éste y de lo que le rodea.
Bibliografía
Bernard Kolman, David R. Álgebra Lineal. Ed. Pearson (México,2006) pp 35.
David C. Lay & Jesús Murrieta Murrieta, Algebra Lineal y sus apicaciones . Pearson Ed. (2007) 502–530.
¡Gracias por su atención!
Úrsula Ruiz
José Gutiérrez
Edilberto Camargo
José Saldaña
César Pérez
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